Обычное расширение

В абстрактной алгебре нормальное расширение — это расширение алгебраического поля L / K, для которого каждый неприводимый многочлен над K , имеющий корень в L, на линейные множители в L. распадается ^[1]^[2] Это одно из условий того, что алгебраическое расширение является расширением Галуа . Бурбаки называет такое расширение квази-расширением Галуа . Для конечных расширений нормальное расширение идентично полю разложения .

Определение

Позволять $L/K$ — алгебраическое расширение (т. е. L — алгебраическое расширение K ), такое, что $L\subseteq {\overline {K}}$ (т. е. содержится в алгебраическом замыкании K L ). Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения , эквивалентны: ^[3]

Каждое вложение L в ${\overline {K}}$ над K индуцирует автоморфизм L .
L — поле расщепления семейства многочленов от $K[X]$ .
Любой неприводимый полином $K[X]$ который имеет корень в L, на линейные множители в L. распадается

Другие объекты недвижимости

Пусть L расширение поля K. — Затем:

Если L — нормальное расширение K и если E промежуточное расширение (т. е. L ⊇ E ⊇ K ), то L — нормальное расширение E. — ^[4]
Если E и F — нормальные расширения K, в L , то композит EF и E ∩ F также являются нормальными расширениями K. содержащиеся ^[4]

Эквивалентные условия нормальности

Позволять $L/K$ быть алгебраическим. Поле L является нормальным расширением тогда и только тогда, когда выполняется любое из приведенных ниже эквивалентных условий.

Минимальный полином над K каждого элемента в L распадается в L ;
Есть набор $S\subseteq K[x]$ полиномов, каждый из которых распадается над L , таких, что если $K\subseteq F\subsetneq L$ являются полями, то S имеет многочлен, который не распадается в F ;
Все гомоморфизмы $L\to {\bar {K}}$ что фиксируют, что все элементы K имеют одинаковое изображение;
Группа автоморфизмов, ${\text{Aut}}(L/K),$ L, фиксирующие все элементы K , действует транзитивно на множестве гомоморфизмов $L\to {\bar {K}}$ которые фиксируют все элементы K .

Примеры и контрпримеры

Например, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ является обычным продолжением $\mathbb {Q} ,$ поскольку это поле расщепления $x^{2}-2.$ С другой стороны, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ не является обычным расширением $\mathbb {Q}$ поскольку неприводимый полином $x^{3}-2$ имеет в себе один корень (а именно, ${\sqrt[{3}]{2}}$ ), но не все (у него нет недействительных кубических корней из 2). Напомним, что поле ${\overline {\mathbb {Q} }}$ алгебраических чисел является алгебраическим замыканием $\mathbb {Q} ,$ и, таким образом, он содержит $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ Позволять $\omega$ быть примитивным кубическим корнем из единицы. Тогда с тех пор, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}$ карта ${\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}$ представляет собой вложение $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ в ${\overline {\mathbb {Q} }}$ чьи ограничения на $\mathbb {Q}$ это личность. Однако, $\sigma$ не является автоморфизмом $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

Для любого простого числа $p,$ расширение $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ нормальная степень $p(p-1).$ Это поле расщепления $x^{p}-2.$ Здесь $\zeta _{p}$ обозначает любой $p$ первоначальный корень единицы . Поле $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ нормальное закрытие (см. ниже) $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

Нормальное закрытие

Если K — поле и L — алгебраическое расширение K , то существует некоторое алгебраическое расширение поля L такое , что M — нормальное расширение K. M Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, то есть единственным подполем M , которое содержит L и которое является нормальным расширением K , является M. само называется нормальным замыканием расширения L поля K. Это расширение

Если L — конечное расширение K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

См. также

Цитаты

^ Ланг 2002 , с. 237, Теорема 3.3, НО 3.
^ Джейкобсон 1989 , с. 489, раздел 8.7.
^ Ланг 2002 , с. 237, Теорема 3.3.
^ Jump up to: ^а ^б Ланг 2002 , с. 238, Теорема 3.4.

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 0-7167-1933-9 , МР 1009787

[FOOTNOTELang2002237Theorem_3.3,_NOR_3-1] Ланг 2002 , с. 237, Теорема 3.3, НО 3.

[FOOTNOTEJacobson1989489Section_8.7-2] Джейкобсон 1989 , с. 489, раздел 8.7.

[FOOTNOTELang2002237Theorem_3.3-3] Ланг 2002 , с. 237, Теорема 3.3.

[FOOTNOTELang2002238Theorem_3.4-4] Jump up to: ^а ^б Ланг 2002 , с. 238, Теорема 3.4.

[1]

[2]

[3]

[4]