Встраивание

«Изометрическое встраивание» перенаправляется сюда. Для связанных концепций для метрических пространств см. изометрию .

Информацию о вложениях графов в двумерные многообразия см. в разделе «Вложение графов» .

Чтобы узнать о других значениях, см. Встраивание (значения) .

В математике вложение вложение или ( ) — это один экземпляр некоторой математической структуры , содержащейся в другом экземпляре, например группа , являющаяся подгруппой .

Когда какой-то объект $X$ говорят, что он встроен в другой объект $Y$, вложение задается некоторым инъективным и сохраняющим структуру отображением $f:X\rightarrow Y$. Точное значение слова «сохраняющий структуру» зависит от типа математической структуры, которую $X$ и $Y$ являются экземплярами. В терминологии теории категорий отображение, сохраняющее структуру, называется морфизмом .

Тот факт, что карта $f:X\rightarrow Y$ вложение часто обозначается с помощью «крючковидной стрелки» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ); таким образом: $f:X\hookrightarrow Y.$ (С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для карт включения .)

Данный $X$ и $Y$, несколько различных вложений $X$ в $Y$ может быть возможно. Во многих представляющих интерес случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение, например, вложение натуральных чисел в целые числа , целых чисел в рациональные числа , рациональных чисел в действительные числа и действительных чисел в комплексные числа. . В таких случаях обычно определяют домен $X$ со своим изображением $f(X)$ содержится в $Y$, так что $X\subseteq Y$.

Топология и геометрия

Общая топология

В общей топологии вложение — это гомеоморфизм своего образа. Более явно, инъективное непрерывное отображение $f:X\to Y$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$ является топологическим вложением, если $f$ дает гомеоморфизм между $X$ и $f(X)$ (где $f(X)$ несет топологию подпространства, унаследованную от $Y$). Тогда интуитивно вложение $f:X\to Y$ давайте лечить $X$ как подпространство ​ $Y$. Каждое вложение инъективно и непрерывно . Каждое инъективное, непрерывное, открытое или замкнутое отображение является вложением; однако существуют также вложения, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Последнее происходит, если изображение $f(X)$ не является ни открытым, ни закрытым множеством в $Y$.

Для данного помещения $Y$, существование вложения $X\to Y$ является топологическим инвариантом $X$. Это позволяет различать два пространства, если одно из них может быть встроено в пространство, а другое — нет.

Связанные определения

Если область определения функции $f:X\to Y$ является топологическим пространством , то функция называется локально инъективен в точке, если существует некоторая окрестность $U$ этой точки такова, что ограничение $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ является инъективным. Это называется локально инъективен, если он локально инъективен относительно каждой точки своей области определения. Аналогично, локальное (топологическое, соответственно гладкое) вложение — это функция, для которой каждая точка в ее области определения имеет некоторую окрестность, на которую ее ограничение является (топологическим, соответственно гладким) вложением.

Любая инъективная функция локально инъективна, но не наоборот. Локальные диффеоморфизмы , локальные гомеоморфизмы и гладкие погружения — все это локально инъективные функции, которые не обязательно инъективны. Теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была (помимо прочего) локально инъективной. Каждый слой локально инъективной функции $f:X\to Y$ обязательно является дискретным подпространством своей области определения $X.$

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии :Позволять $M$ и $N$ быть гладкими многообразиями и $f:M\to N$ быть гладкой картой. Затем $f$ называется погружением , если его производная всюду инъективна. Вложение гомеоморфизмом или гладкое вложение определяется как погружение, которое является вложением в упомянутом выше топологическом смысле (т. е. на свой образ).

Другими словами, область вложения диффеоморфна своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием . Погружение — это в точности локальное вложение , т. е. для любой точки $x\in M$ есть район $x\in U\subset M$ такой, что $f:U\to N$ является вложением.

Когда многообразие областей компактно, понятие гладкого вложения эквивалентно понятию инъективного погружения.

Важным случаем является $N=\mathbb {R} ^{n}$. Здесь интерес представляет то, насколько велика $n$ должно быть для вложения, с точки зрения размерности $m$ из $M$. Уитни Теорема вложения заявляет, что $n=2m$ достаточно и является наилучшей возможной линейной границей. Например, реальное проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}$ размера $m$, где $m$ является степенью двойки, требует $n=2m$ для встраивания. Однако это не относится к погружениям; например, $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ можно погрузиться в $\mathbb {R} ^{3}$ как это явно показано на поверхности Боя , которая имеет самопересечения. Римская поверхность не может быть погружением, поскольку содержит перемычки .

Вложение является правильным , если оно хорошо ведет себя по отношению к границам : требуется отображение $f:X\rightarrow Y$ быть таким, что

• $f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y$, и
• $f(X)$ поперечно ​ ​ $\partial Y$ в любой точке $f(\partial X)$.

Первое условие эквивалентно тому, что $f(\partial X)\subseteq \partial Y$ и $f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y$. Второе условие, грубо говоря, говорит о том, что $f(X)$ не касается границы $Y$.

Риманова и псевдориманова геометрия.

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии:Позволять $(M,g)$ и $(N,h)$ быть римановыми многообразиями или, в более общем смысле, псевдоримановыми многообразиями .Изометрическое вложение — это гладкое вложение. $f:M\rightarrow N$ сохраняющий (псевдо-) метрику в том смысле, что $g$ равно откату ​ $h$ к $f$, то есть $g=f^{*}h$. Явно, для любых двух касательных векторов $v,w\in T_{x}(M)$ у нас есть

$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$

Аналогично, изометрическое погружение — это погружение между (псевдо)-римановыми многообразиями, сохраняющее (псевдо)-римановы метрики.

Аналогично, в римановой геометрии изометрическое вложение (погружение) — это гладкое вложение (погружение), сохраняющее длину кривых (см. теорему вложения Нэша ).

Алгебра

В общем случае для алгебраической категории $C$, вложение между двумя $C$-алгебраические структуры $X$ и $Y$ это $C$-морфизм $e:X\rightarrow Y$ это инъективно.

Теория поля

В теории вложение ​ поля поля $E$ в поле $F$ является кольцевым гомоморфизмом $\sigma :E\rightarrow F$.

Ядро ​ ​ $\sigma$ является идеалом ​ $E$, которое не может быть всем полем $E$, из-за условия $1=\sigma (1)=1$. Более того, любое поле имеет в качестве идеалов только нулевой идеал и само поле (поскольку, если в идеале есть какой-либо ненулевой элемент поля, он обратим, показывая, что идеалом является все поле). Следовательно, ядро $0$, поэтому любое вложение полей является мономорфизмом . Следовательно, $E$ изоморфно ​ подполю ​ $\sigma (E)$ из $F$. имен Это оправдывает вложение для произвольного гомоморфизма полей.

Универсальная алгебра и теория моделей

Дополнительная информация: Подструктура (математика) и элементарная эквивалентность.

Если $\sigma$ это подпись и $A,B$ являются $\sigma$- структуры (также называемые $\sigma$-алгебры в универсальной алгебре или модели в теории моделей ), то отображение $h:A\to B$ это $\sigma$-вложение точно, если выполняются все следующие условия:

• $h$ является инъективным,
• для каждого $n$-арный функциональный символ $f\in \sigma$ и $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ у нас есть $h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))$,
• для каждого $n$-арный символ отношения $R\in \sigma$ и $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ у нас есть $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ если только $B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).$

Здесь $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ является модельной теоретической записью, эквивалентной $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}$. В теории моделей существует также более сильное понятие элементарного вложения .

Теория порядка и теория доменов

В теории порядка вложение частично упорядоченных множеств — это функция $F$ между частично упорядоченными множествами $X$ и $Y$ такой, что

$\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).$

Инъективность $F$сразу следует из этого определения. В теории предметной области дополнительным требованием является то, что

$\forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}$ направляется ​ .

Метрические пространства

Отображение $\phi :X\to Y$ метрических пространств называется вложением (с искажением $C>0$) если

$Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)$

для каждого $x,y\in X$ и некоторая константа $L>0$.

Нормированные пространства

Важным частным случаем являются нормированные пространства ; в этом случае естественно рассматривать линейные вложения.

Один из основных вопросов, которые можно задать о конечномерном нормированном пространстве. $(X,\|\cdot \|)$ какова максимальная размерность $k$ такое, что гильбертово пространство $\ell _{2}^{k}$ может быть линейно вложено в $X$ с постоянными искажениями?

Ответ даёт теорема Дворецкого .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного и общепринятого определения вложений, применимого ко всем категориям. Можно было бы ожидать, что все изоморфизмы и все композиции вложений являются вложениями и что все вложения являются мономорфизмами. Другие типичные требования: любой экстремальный мономорфизм является вложением, а вложения устойчивы при обратном образе .

В идеале класс всех вложенных подобъектов данного объекта с точностью до изоморфизма также должен быть небольшим и, следовательно, упорядоченным множеством . В этом случае говорят, что категория хорошо развита по отношению к классу вложений. Это позволяет определять новые локальные структуры в категории (например, оператор замыкания ).

В конкретной категории вложением является морфизм $f:A\rightarrow B$ это инъективная функция из основного набора $A$ к базовому набору $B$ а также является исходным морфизмом в следующем смысле:Если $g$ это функция из базового набора объекта $C$ к базовому набору $A$, и если его композиция с $f$ является морфизмом $fg:C\rightarrow B$, затем $g$ сам по себе является морфизмом.

Система факторизации категории также порождает понятие встраивания. Если $(E,M)$ является системой факторизации, то морфизмы в $M$ можно рассматривать как вложения, особенно если категория хорошо развита по отношению к $M$. Конкретные теории часто имеют систему факторизации, в которой $M$ состоит из вложений в предыдущем смысле. Так обстоит дело с большинством примеров, приведенных в этой статье.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор. Все предыдущие свойства можно дуализировать.

Вложение также может ссылаться на функтор вложения .

См. также

• Окружающее пространство
• Закрытое погружение
• Крышка
• Уменьшение размеров
• Плоский (геометрия)
• Погружение
• Лемма Джонсона – Линденштрауса.
• Подмногообразие
• Подпространство
• Универсальное пространство

Ссылки

• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964). Геометрия многообразий . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0-8218-2923-3 .
• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Голдберг, Сэмюэл Ирвинг (1968). Тензорный анализ многообразий (первое изд., Дувр, 1980 г.). Компания Макмиллан. ISBN  0-486-64039-6 .
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-23190-9 .
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . Биркхойзер Бостон. ISBN  978-0-8176-3490-2 .
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр. ISBN  978-0-486-66169-8 .
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-20493-0 .
• Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. ISBN  0-486-65676-4 .
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8 .
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-98593-0 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, Том 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
• Ли, Джон Маршалл (1997). Римановы многообразия . Спрингер Верлаг. ISBN  978-0-387-98322-6 .
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94732-9 . .
• Спивак, Майкл (1999) [1970]. Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-70-5 .
• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-90894-3 . .

Внешние ссылки

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006). Абстрактные и конкретные категории (Кошачья радость) .
• Вложение многообразий в Атлас многообразий