Теорема Дворецкого

В математике доказанная теорема Дворецкого — важная структурная теорема о нормированных векторных пространствах, Арье Дворецким в начале 1960-х годов. отвечая на вопрос Александра Гротендика . По сути, это говорит о том, что каждое нормированное векторное пространство достаточной размерности будет иметь подпространства низкой размерности, которые приблизительно евклидовы . Эквивалентно, каждое многомерное ограниченное симметричное выпуклое множество имеет низкоразмерные сечения, которые приблизительно являются эллипсоидами .

Новое доказательство, найденное Виталием Мильманом в 1970-х годах был одной из отправных точек развития асимптотического геометрического анализа (также называемого асимптотическим функциональным анализом или локальной теорией банаховых пространств ).

Оригинальные рецептуры

Для каждого натурального числа k ∈ N и любого ε > 0 существует натуральное число N ( k , ε ) ∈ N такое, что если ( X , ‖·‖) — любое нормированное пространство размерности N ( k , ε ), существует подпространство E ⊂ X размерности k и положительно определенную квадратичную форму Q на E такие, что соответствующая евклидова норма

$|\cdot |={\sqrt {Q(\cdot )}}$

на E удовлетворяет:

$|x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.$

В терминах мультипликативного расстояния Банаха-Мазура d заключение теоремы можно сформулировать как:

$d(E,\ \ell _{k}^{2})\leq 1+\varepsilon$

где $\ell _{k}^{2}$ обозначает стандартное k -мерное евклидово пространство.

Поскольку единичный шар каждого нормированного векторного пространства является ограниченным, симметричным, выпуклым множеством, а единичный шар каждого евклидова пространства является эллипсоидом, теорему можно также сформулировать как утверждение об эллипсоидных сечениях выпуклых множеств.

Дальнейшие разработки

В 1971 году Виталий Мильман дал новое доказательство теоремы Дворецкого, используя концентрацию меры на сфере, чтобы показать, что случайное k -мерное подпространство удовлетворяет вышеуказанному неравенству с вероятностью, очень близкой к 1. Доказательство дает точную зависимость от к :

$N(k,\varepsilon )\leq \exp(C(\varepsilon )k)$

где константа C ( ε ) зависит только от ε .

Таким образом, мы можем утверждать: для каждого ε > 0 существует константа C(ε) > 0 такая, что для любого нормированного пространства ( X , ‖·‖) размерности N существует подпространство E ⊂ X размерности k ≥ C ( ε ) log N и евклидова норма |⋅| на E такой, что

$|x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.$

Точнее, пусть S ^{Н - 1} обозначим единичную сферу относительно некоторой евклидовой структуры Q на X и пусть σ — инвариантная вероятностная мера на S ^{Н - 1} . Затем:

• существует такое подпространство E с

$k=\dim E\geq C(\varepsilon )\,\left({\frac {\int _{S^{N-1}}\|\xi \|\,d\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{N-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}\,N.$

• Для любого X можно выбрать Q так, чтобы член в скобках был не более

$c_{1}{\sqrt {\frac {\log N}{N}}}.$

Здесь c ₁ — универсальная константа. Для заданных и ε максимальное возможное k обозначается k _* ( X ) и называется Дворецкого X. X размерностью

Зависимость от ε изучал Йорам Гордон , который показал, что k _* ( X ) ≥ c ₂   ε ² войти Н. ​Другое доказательство этого результата дал Гидеон Шехтман .

Нога Алон и Виталий Мильман показали, что логарифмическая оценка размерности подпространства в теореме Дворецкого может быть значительно улучшена, если кто-то готов принять подпространство, близкое либо к евклидову пространству, либо к пространству Чебышева . В частности, для некоторой константы c каждое n -мерное пространство имеет подпространство размерности k ≥ exp( c √ log N ), близкое либо к ℓ ^к
₂ или до ℓ ^к
_∞ .

Важные смежные результаты были доказаны Тадеушем Фигиэлем , Йорамом Линденштраусом и Милманом.

Дальнейшее чтение

• Вершинин, Роман (2018). «Теорема Дворецкого – Мильмана». Многомерная вероятность: введение в области науки о данных . Издательство Кембриджского университета. стр. 254–264. дои : 10.1017/9781108231596.014 .