Рациональная зависимость

В математике набор действительных чисел является рационально независимым , если ни одно из них не может быть записано в виде линейной комбинации других чисел в наборе с рациональными коэффициентами. Совокупность чисел, не являющаяся рационально независимой, называется рационально зависимой . Например, у нас есть следующий пример.

{\begin{matrix}{\mbox{independent}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {3,\quad {\sqrt {8}}\quad } ,1+{\sqrt {2}}} \\{\mbox{dependent}}\\\end{matrix}}

Потому что, если мы позволим $x=3,y={\sqrt {8}}$ , затем $1+{\sqrt {2}}={\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{2}}y$ .

Формальное определение

Действительные числа ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n называются рационально зависимыми , если существуют целые числа k ₁ , k ₂ , ... , k _n , не все из которых равны нулю, такие, что

k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0.

Если таких целых чисел не существует, то векторы называются рационально независимыми . Это условие можно переформулировать следующим образом: ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n рационально независимы, если существует единственный n - набор целых чисел k ₁ , k ₂ , ... , k _n такой, что

k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0

— это тривиальное решение , в котором каждый k _i равен нулю.

Действительные числа образуют векторное пространство над рациональными числами , и это эквивалентно обычному определению линейной независимости в этом векторном пространстве.

См. также

Библиография

Анатоль Каток и Борис Хассельблатт (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5 .