Jump to content

Гипотеза Шануэля

В математике , особенно в теории трансцендентных чисел , гипотеза Шануэля — это гипотеза, выдвинутая Стивеном Шануэлем в 1960-х годах относительно степени трансцендентности некоторых расширений полей рациональных чисел .

Заявление

[ редактировать ]

Гипотеза заключается в следующем:

Учитывая любые n комплексных чисел z 1 , ..., z n, над линейно независимых рациональными числами , расширение поля ( z 1 , ..., z n , е я 1 , ..., и з н ) имеет степень трансцендентности не ниже n над .

Эту гипотезу можно найти у Ланга (1966). [ 1 ]

Последствия

[ редактировать ]

Если эта гипотеза будет доказана, она обобщит большинство известных результатов теории трансцендентных чисел . Особым случаем, когда все числа z 1 ,..., z n являются алгебраическими, является теорема Линдемана–Вейерштрасса . Если, с другой стороны, числа выбираются так, чтобы сделать exp( z 1 ),...,exp( z n ) алгебраическими, то можно было бы доказать, что линейно независимые логарифмы алгебраических чисел алгебраически независимы, что является усилением Теорема Бейкера .

Теорема Гельфонда-Шнайдера следует из этой усиленной версии теоремы Бейкера, как и недоказанная в настоящее время гипотеза о четырех экспонентах .

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установит, будут ли такие числа, как e + π и e и являются алгебраическими или трансцендентными, и докажите, что e и π алгебраически независимы, просто установив z 1 = 1 и z 2 = π i и используя тождество Эйлера .

Тождество Эйлера утверждает, что e π я + 1 = 0. Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, включающее кольца экспонент , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами. [ 2 ]

Хотя эта гипотеза якобы является проблемой теории чисел, она имеет последствия для теории моделей и . Ангус Макинтайр и Алекс Уилки , например, доказали, что теория реального поля с возведением в степень, exp , разрешимо при условии, что гипотеза Шануэля верна. [ 3 ] На самом деле им нужна была только реальная версия гипотезы, определенная ниже, чтобы доказать этот результат, который стал бы положительным решением проблемы Тарского с показательной функцией .

[ редактировать ]

Обратная гипотеза Шануэля [ 4 ] это следующее утверждение:

Предположим, что F счетное поле с характеристикой 0 и e : F F гомоморфизм аддитивной группы ( F ,+) в мультипликативную группу ( F ,·), ​​которой циклическое ядро . Предположим далее, что для любых n элементов x 1 ,..., x n из F , линейно независимых над , поле расширения ( x 1 ,..., x n , e ( x 1 ),..., e ( x n )) имеет степень трансцендентности не менее n над . Тогда существует гомоморфизм полей h : F такой, что ( e ( x ) ) = exp( h ( x )) для всех x в F. h

Версия гипотезы Шануэля для формальных степенных рядов , также выдвинутая Шануэлем, была доказана Джеймсом Аксом в 1971 году. [ 5 ] В нем говорится:

Для любого n формальных степенных рядов f 1 ,..., f n в t [[ t ]] которые линейно независимы над , то расширение поля ( t , f 1 ,..., f n ,exp( f 1 ),...,exp( f n )) имеет степень трансцендентности не менее n над ( т ).

Как уже говорилось выше, разрешимость exp следует из реальной версии гипотезы Шануэля, которая заключается в следующем: [ 6 ]

Предположим, что x 1 ,..., x n действительные числа и степень трансцендентности поля ( x 1 ,..., x n , exp ( x 1 ),...,exp( x n )) строго меньше n , то существуют целые числа m 1 ,..., m n , не все нули , такой, что m 1 x 1 +...+ m n x n = 0.

Связанная с этим гипотеза, называемая гипотезой Шануэля о равномерном вещественном веществе, по сути, говорит то же самое, но накладывает ограничения на целые числа m i . Единая реальная версия гипотезы эквивалентна стандартной реальной версии. [ 6 ] Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которое они назвали слабой гипотезой Шануэля, эквивалентно разрешимости эксп . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя граница нормы неособых решений систем экспоненциальных многочленов ; это, что неочевидно, является следствием гипотезы Шануэля о реальных числах. [ 3 ]

Известно также, что гипотеза Шануэля была бы следствием гипотетических результатов теории мотивов . В этом случае гипотеза Гротендика о периоде абелева многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов такая же, как размерность связанной группы Мамфорда – Тейта известно , и из работы Пьера Делиня , что размерность является верхней стремится к степени трансцендентности. Бертолин показал, как гипотеза обобщенного периода включает в себя гипотезу Шануэля. [ 7 ]

Псевдовозведение в степень Зильбера

[ редактировать ]

Хотя доказательство гипотезы Шануэля кажется еще очень далеким, [ 8 ] связи с теорией моделей вызвали волну исследований этой гипотезы.

В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K exp , которые являются алгебраически замкнутыми и имеют нулевую характеристику и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . [ 9 ] Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию и методы Грушовского, вдохновленные работой Шелаха о категоричности в бесконечной логике , доказал, что эта теория «псевдовозведения в степень» имеет уникальную модель для каждого несчетного кардинала. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, подразумевает гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и другое недоказанное условие на поле комплексного возведения в степень, которое Зильбер называет экспоненциально-алгебраической замкнутостью. [ 10 ] Поскольку эта конструкция также может дать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля. [ 11 ]

  1. ^ Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Аддисон-Уэсли. стр. 30–31.
  2. ^ Терцо, Джузеппина (2008). «Некоторые следствия гипотезы Шануэля в экспоненциальных кольцах». Связь в алгебре . 36 (3): 1171–1189. дои : 10.1080/00927870701410694 . S2CID   122764821 .
  3. ^ Jump up to: а б Макинтайр А. и Уилки А.Дж. (1996). «О разрешимости действительного показательного поля». В Одифредди, Пьерджорджио (ред.). Крайзелиана: о Георге Крайзеле и его окрестностях . Уэлсли: Питерс. стр. 441–467. ISBN  978-1-56881-061-4 .
  4. ^ Скотт В. Уильямс, Проблемы на миллион долларов
  5. ^ Топор, Джеймс (1971). «О догадках Шануэля». Анналы математики . 93 (2): 252–268. дои : 10.2307/1970774 . JSTOR   1970774 .
  6. ^ Jump up to: а б Кирби, Джонатан и Зильбер, Борис (2006). «Единая гипотеза Шануэля о действительных числах». Бык. Лондонская математика. Соц . 38 (4): 568–570. CiteSeerX   10.1.1.407.5667 . дои : 10.1112/S0024609306018510 . S2CID   122077474 .
  7. ^ Бертолин, Кристиана (2002). «Периоды 1-мотивов и трансцендентности» . Журнал теории чисел . 97 (2): 204–221. дои : 10.1016/S0022-314X(02)00002-1 . hdl : 2318/103562 .
  8. ^ Вальдшмидт, Мишель (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах . Берлин: Шпрингер . ISBN  978-3-662-11569-5 .
  9. ^ Зильбер, Борис (2004). «Псевдовозведение в степень на алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики» . Анналы чистой и прикладной логики . 132 (1): 67–95. дои : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
  10. ^ Зильбер, Борис (2002). «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля». Дж. Лондон Математика. Соц . 65 (2): 27–44. дои : 10.1112/S0024610701002861 . S2CID   123143365 .
  11. ^ Бэйс, Мартин; Кирби, Джонатан (2018). «Псевдоэкспоненциальные отображения, варианты и квазиминимальность». Алгебра Теория чисел . 12 (3): 493–549. arXiv : 1512.04262 . дои : 10.2140/ant.2018.12.493 . S2CID   119602079 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a75019f48c75767aed800a9f358f9527__1699335900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a7/27/a75019f48c75767aed800a9f358f9527.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Schanuel's conjecture - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)