Гипотеза Шануэля

В математике , особенно в теории трансцендентных чисел , гипотеза Шануэля — это гипотеза, выдвинутая Стивеном Шануэлем в 1960-х годах относительно степени трансцендентности некоторых расширений полей рациональных чисел .

Заявление

Гипотеза заключается в следующем:

Учитывая любые n комплексных чисел z ₁ , ..., z _n, над линейно независимых рациональными числами $\mathbb {Q}$, расширение поля $\mathbb {Q}$( z ₁ , ..., z _n , е ^{я ₁} , ..., и ^{з _н} ) имеет степень трансцендентности не ниже n над $\mathbb {Q}$.

Эту гипотезу можно найти у Ланга (1966).

Последствия

Если эта гипотеза будет доказана, она обобщит большинство известных результатов теории трансцендентных чисел . Особым случаем, когда все числа z ₁ ,..., z _n являются алгебраическими, является теорема Линдемана–Вейерштрасса . Если, с другой стороны, числа выбираются так, чтобы сделать exp( z ₁ ),...,exp( z _n ) алгебраическими, то можно было бы доказать, что линейно независимые логарифмы алгебраических чисел алгебраически независимы, что является усилением Теорема Бейкера .

Теорема Гельфонда-Шнайдера следует из этой усиленной версии теоремы Бейкера, как и недоказанная в настоящее время гипотеза о четырех экспонентах .

Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установит, будут ли такие числа, как e + π и e ^и являются алгебраическими или трансцендентными, и докажите, что e и π алгебраически независимы, просто установив z ₁ = 1 и z ₂ = π i и используя тождество Эйлера .

Тождество Эйлера утверждает, что e ^{π я} + 1 = 0. Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, включающее кольца экспонент , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами.

Хотя эта гипотеза якобы является проблемой теории чисел, она имеет последствия для теории моделей и . Ангус Макинтайр и Алекс Уилки , например, доказали, что теория реального поля с возведением в степень, $\mathbb {R}$_exp , разрешимо при условии, что гипотеза Шануэля верна. На самом деле им нужна была только реальная версия гипотезы, определенная ниже, чтобы доказать этот результат, который стал бы положительным решением проблемы Тарского с показательной функцией .

Связанные гипотезы и результаты

Обратная гипотеза Шануэля это следующее утверждение:

Предположим, что F — счетное поле с характеристикой 0 и e : F → F — гомоморфизм аддитивной группы ( F ,+) в мультипликативную группу ( F ,·), ​​которой циклическое ядро . Предположим далее, что для любых n элементов x ₁ ,..., x _n из F , линейно независимых над $\mathbb {Q}$, поле расширения $\mathbb {Q}$( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) имеет степень трансцендентности не менее n над $\mathbb {Q}$. Тогда существует гомоморфизм полей h : F → $\mathbb {C}$ такой, что ( e ( x ) ) = exp( h ( x )) для всех x в F. h

Версия гипотезы Шануэля для формальных степенных рядов , также выдвинутая Шануэлем, была доказана Джеймсом Аксом в 1971 году. В нем говорится:

Для любого n формальных степенных рядов f ₁ ,..., f _n в t $\mathbb {C}$[[ t ]] которые линейно независимы над $\mathbb {Q}$, то расширение поля $\mathbb {C}$( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ),...,exp( f _n )) имеет степень трансцендентности не менее n над $\mathbb {C}$( т ).

Как уже говорилось выше, разрешимость $\mathbb {R}$_exp следует из реальной версии гипотезы Шануэля, которая заключается в следующем:

Предположим, что x ₁ ,..., x _n — действительные числа и степень трансцендентности поля $\mathbb {Q}$( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) строго меньше n , то существуют целые числа m ₁ ,..., m _n , не все нули , такой, что m ₁ x ₁ +...+ m _n x _n = 0.

Связанная с этим гипотеза, называемая гипотезой Шануэля о равномерном вещественном веществе, по сути, говорит то же самое, но накладывает ограничения на целые числа m _i . Единая реальная версия гипотезы эквивалентна стандартной реальной версии. Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которое они назвали слабой гипотезой Шануэля, эквивалентно разрешимости $\mathbb {R}$_эксп . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя граница нормы неособых решений систем экспоненциальных многочленов ; это, что неочевидно, является следствием гипотезы Шануэля о реальных числах.

Известно также, что гипотеза Шануэля была бы следствием гипотетических результатов теории мотивов . В этом случае гипотеза Гротендика о периоде абелева многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов такая же, как размерность связанной группы Мамфорда – Тейта известно , и из работы Пьера Делиня , что размерность является верхней стремится к степени трансцендентности. Бертолин показал, как гипотеза обобщенного периода включает в себя гипотезу Шануэля.

Псевдовозведение в степень Зильбера

Хотя доказательство гипотезы Шануэля кажется еще очень далеким, связи с теорией моделей вызвали волну исследований этой гипотезы.

В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K _exp , которые являются алгебраически замкнутыми и имеют нулевую характеристику и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию и методы Грушовского, вдохновленные работой Шелаха о категоричности в бесконечной логике , доказал, что эта теория «псевдовозведения в степень» имеет уникальную модель для каждого несчетного кардинала. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, подразумевает гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и другое недоказанное условие на поле комплексного возведения в степень, которое Зильбер называет экспоненциально-алгебраической замкнутостью. Поскольку эта конструкция также может дать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Шануэля» . Математический мир .