Гипотеза Шануэля
Часть серии статей о |
математическая константа е |
---|
![]() |
Характеристики |
Приложения |
Определение е |
Люди |
Связанные темы |
В математике , особенно в теории трансцендентных чисел , гипотеза Шануэля — это гипотеза, выдвинутая Стивеном Шануэлем в 1960-х годах относительно степени трансцендентности некоторых расширений полей рациональных чисел .
Заявление
[ редактировать ]Гипотеза заключается в следующем:
- Учитывая любые n комплексных чисел z 1 , ..., z n, над линейно независимых рациональными числами , расширение поля ( z 1 , ..., z n , е я 1 , ..., и з н ) имеет степень трансцендентности не ниже n над .
Эту гипотезу можно найти у Ланга (1966). [ 1 ]
Последствия
[ редактировать ]Если эта гипотеза будет доказана, она обобщит большинство известных результатов теории трансцендентных чисел . Особым случаем, когда все числа z 1 ,..., z n являются алгебраическими, является теорема Линдемана–Вейерштрасса . Если, с другой стороны, числа выбираются так, чтобы сделать exp( z 1 ),...,exp( z n ) алгебраическими, то можно было бы доказать, что линейно независимые логарифмы алгебраических чисел алгебраически независимы, что является усилением Теорема Бейкера .
Теорема Гельфонда-Шнайдера следует из этой усиленной версии теоремы Бейкера, как и недоказанная в настоящее время гипотеза о четырех экспонентах .
Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установит, будут ли такие числа, как e + π и e и являются алгебраическими или трансцендентными, и докажите, что e и π алгебраически независимы, просто установив z 1 = 1 и z 2 = π i и используя тождество Эйлера .
Тождество Эйлера утверждает, что e π я + 1 = 0. Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, включающее кольца экспонент , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами. [ 2 ]
Хотя эта гипотеза якобы является проблемой теории чисел, она имеет последствия для теории моделей и . Ангус Макинтайр и Алекс Уилки , например, доказали, что теория реального поля с возведением в степень, exp , разрешимо при условии, что гипотеза Шануэля верна. [ 3 ] На самом деле им нужна была только реальная версия гипотезы, определенная ниже, чтобы доказать этот результат, который стал бы положительным решением проблемы Тарского с показательной функцией .
Связанные гипотезы и результаты
[ редактировать ]Обратная гипотеза Шануэля [ 4 ] это следующее утверждение:
- Предположим, что F — счетное поле с характеристикой 0 и e : F → F — гомоморфизм аддитивной группы ( F ,+) в мультипликативную группу ( F ,·), которой циклическое ядро . Предположим далее, что для любых n элементов x 1 ,..., x n из F , линейно независимых над , поле расширения ( x 1 ,..., x n , e ( x 1 ),..., e ( x n )) имеет степень трансцендентности не менее n над . Тогда существует гомоморфизм полей h : F → такой, что ( e ( x ) ) = exp( h ( x )) для всех x в F. h
Версия гипотезы Шануэля для формальных степенных рядов , также выдвинутая Шануэлем, была доказана Джеймсом Аксом в 1971 году. [ 5 ] В нем говорится:
- Для любого n формальных степенных рядов f 1 ,..., f n в t [[ t ]] которые линейно независимы над , то расширение поля ( t , f 1 ,..., f n ,exp( f 1 ),...,exp( f n )) имеет степень трансцендентности не менее n над ( т ).
Как уже говорилось выше, разрешимость exp следует из реальной версии гипотезы Шануэля, которая заключается в следующем: [ 6 ]
- Предположим, что x 1 ,..., x n — действительные числа и степень трансцендентности поля ( x 1 ,..., x n , exp ( x 1 ),...,exp( x n )) строго меньше n , то существуют целые числа m 1 ,..., m n , не все нули , такой, что m 1 x 1 +...+ m n x n = 0.
Связанная с этим гипотеза, называемая гипотезой Шануэля о равномерном вещественном веществе, по сути, говорит то же самое, но накладывает ограничения на целые числа m i . Единая реальная версия гипотезы эквивалентна стандартной реальной версии. [ 6 ] Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которое они назвали слабой гипотезой Шануэля, эквивалентно разрешимости эксп . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя граница нормы неособых решений систем экспоненциальных многочленов ; это, что неочевидно, является следствием гипотезы Шануэля о реальных числах. [ 3 ]
Известно также, что гипотеза Шануэля была бы следствием гипотетических результатов теории мотивов . В этом случае гипотеза Гротендика о периоде абелева многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов такая же, как размерность связанной группы Мамфорда – Тейта известно , и из работы Пьера Делиня , что размерность является верхней стремится к степени трансцендентности. Бертолин показал, как гипотеза обобщенного периода включает в себя гипотезу Шануэля. [ 7 ]
Псевдовозведение в степень Зильбера
[ редактировать ]Хотя доказательство гипотезы Шануэля кажется еще очень далеким, [ 8 ] связи с теорией моделей вызвали волну исследований этой гипотезы.
В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K exp , которые являются алгебраически замкнутыми и имеют нулевую характеристику и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . [ 9 ] Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию и методы Грушовского, вдохновленные работой Шелаха о категоричности в бесконечной логике , доказал, что эта теория «псевдовозведения в степень» имеет уникальную модель для каждого несчетного кардинала. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, подразумевает гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и другое недоказанное условие на поле комплексного возведения в степень, которое Зильбер называет экспоненциально-алгебраической замкнутостью. [ 10 ] Поскольку эта конструкция также может дать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля. [ 11 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Аддисон-Уэсли. стр. 30–31.
- ^ Терцо, Джузеппина (2008). «Некоторые следствия гипотезы Шануэля в экспоненциальных кольцах». Связь в алгебре . 36 (3): 1171–1189. дои : 10.1080/00927870701410694 . S2CID 122764821 .
- ^ Jump up to: а б Макинтайр А. и Уилки А.Дж. (1996). «О разрешимости действительного показательного поля». В Одифредди, Пьерджорджио (ред.). Крайзелиана: о Георге Крайзеле и его окрестностях . Уэлсли: Питерс. стр. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4 .
- ^ Скотт В. Уильямс, Проблемы на миллион долларов
- ^ Топор, Джеймс (1971). «О догадках Шануэля». Анналы математики . 93 (2): 252–268. дои : 10.2307/1970774 . JSTOR 1970774 .
- ^ Jump up to: а б Кирби, Джонатан и Зильбер, Борис (2006). «Единая гипотеза Шануэля о действительных числах». Бык. Лондонская математика. Соц . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . дои : 10.1112/S0024609306018510 . S2CID 122077474 .
- ^ Бертолин, Кристиана (2002). «Периоды 1-мотивов и трансцендентности» . Журнал теории чисел . 97 (2): 204–221. дои : 10.1016/S0022-314X(02)00002-1 . hdl : 2318/103562 .
- ^ Вальдшмидт, Мишель (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах . Берлин: Шпрингер . ISBN 978-3-662-11569-5 .
- ^ Зильбер, Борис (2004). «Псевдовозведение в степень на алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики» . Анналы чистой и прикладной логики . 132 (1): 67–95. дои : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
- ^ Зильбер, Борис (2002). «Уравнения экспоненциальных сумм и гипотеза Шануэля». Дж. Лондон Математика. Соц . 65 (2): 27–44. дои : 10.1112/S0024610701002861 . S2CID 123143365 .
- ^ Бэйс, Мартин; Кирби, Джонатан (2018). «Псевдоэкспоненциальные отображения, варианты и квазиминимальность». Алгебра Теория чисел . 12 (3): 493–549. arXiv : 1512.04262 . дои : 10.2140/ant.2018.12.493 . S2CID 119602079 .