Экспоненциальное поле

В математике экспоненциальное поле — это поле с дальнейшей унарной операцией, которая представляет собой гомоморфизм аддитивной группы поля в его мультипликативную группу. Это обобщает обычную идею возведения в степень действительных чисел , где основанием является выбранное положительное действительное число.

Определение

Поле — это алгебраическая структура, состоящая из набора элементов F , двух бинарных операций , сложения (+), такого, что F образует абелеву группу с единицей 0 _F , и умножения (·), такого, что F , исключая 0 _F, образует абелеву группу. при умножении с тождеством 1 _F и таком, что умножение является дистрибутивным по отношению к сложению, то есть для любых элементов a , b , c в F имеет место a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) . Если существует также функция E , которая отображает F в F и такая, что для любых a и b в F имеется

${\begin{aligned}&E(a+b)=E(a)\cdot E(b),\\&E(0_{F})=1_{F}\end{aligned}}$

тогда F называется экспоненциальным полем, а функция E называется показательной функцией на F . Таким образом, показательная функция в поле является гомоморфизмом между аддитивной группой F и ее мультипликативной группой.

Тривиальная показательная функция

Для любого поля существует тривиальная экспоненциальная функция, а именно карта, которая отправляет каждый элемент в единичный элемент поля при умножении. Таким образом, каждое поле тривиально также является экспоненциальным полем, поэтому случаи, интересующие математиков, возникают, когда показательная функция нетривиальна.

Иногда требуется, чтобы экспоненциальные поля имели нулевую характеристику , поскольку единственная показательная функция в поле с ненулевой характеристикой является тривиальной. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что для любого элемента x в поле с характеристикой p > 0,

$1=E(0)=E(\underbrace {x+x+\cdots +x} _{p{\text{ of these}}})=E(x)E(x)\cdots E(x)=E(x)^{p}.$

Следовательно, учитывая эндоморфизм Фробениуса ,

$(E(x)-1)^{p}=E(x)^{p}-1^{p}=E(x)^{p}-1=0.\,$

Итак, E ( x ) = 1 для каждого x .

Примеры

• Поле действительных чисел R , или ( R , +, ·, 0, 1), как его можно записать, чтобы подчеркнуть, что мы рассматриваем его исключительно как поле со сложением, умножением и специальными константами ноль и единица, имеет бесконечное множество показательные функции. Одной из таких функций является обычная показательная функция , то есть E ( x ) = e ^Икс , так как у нас есть e ^{х + у} = и ^Икс Это ^и и е ⁰ = 1 , как требуется. Рассмотрение упорядоченного поля R , снабженного этой функцией, дает упорядоченное действительное экспоненциальное поле, обозначаемое R _exp = ( R , +, ·, <, 0, 1, exp) .
• Любое действительное число a > 0 дает показательную функцию на R , где отображение E ( x ) = a ^Икс удовлетворяет требуемым свойствам.
• Аналогично реальному полю экспоненты существует комплексное поле экспоненты C _exp = ( C , +, ·, 0, 1, exp) .
• Борис Зильбер построил экспоненциальное поле K _exp , которое, что особенно важно, удовлетворяет эквивалентной формулировке гипотезы Шануэля с экспоненциальной функцией поля. Предполагается, что это экспоненциальное поле на самом деле представляет собой C _exp , и доказательство этого факта, таким образом, докажет гипотезу Шануэля.

Экспоненциальные кольца

От базового множества F может не требоваться, чтобы оно было полем, но вместо этого ему разрешается быть просто R и , одновременно экспоненциальная функция ослабляется до гомоморфизма аддитивной группы в R в мультипликативную группу единиц в R. кольцом Полученный объект называется экспоненциальным кольцом .

Примером кольца экспонент с нетривиальной показательной функцией является кольцо целых Z, снабженное функцией E , принимающей значение +1 в четных целых числах и −1 в нечетных целых числах, т. е. функция $n\mapsto (-1)^{n}.$ Эта показательная функция и тривиальная — единственные две функции на Z , удовлетворяющие этим условиям.

Открытые проблемы

Экспоненциальные поля являются хорошо изученными объектами теории моделей , иногда обеспечивая связь между ней и теорией чисел , как в случае с гипотезой работой Зильбера над Шануэля . В 1990-х годах было доказано, что R _exp модельно полная , и этот результат известен как теорема Уилки . Этот результат в сочетании с теоремой Хованского о функциях Пфаффа доказывает, что R _exp также является o-минимальным . С другой стороны, известно, что C _exp не является моделью полной. Вопрос о разрешимости до сих пор не решен. Альфред Тарский поставил вопрос о разрешимости R _exp , и поэтому он теперь известен как проблема показательной функции Тарского . Известно, что если реальная версия гипотезы Шануэля верна, то R _exp разрешима.

См. также

• Упорядоченное экспоненциальное поле