Упорядоченное экспоненциальное поле

В математике упорядоченное поле экспоненты — это упорядоченное поле вместе с функцией, которая обобщает идею экспоненциальных функций на упорядоченном поле действительных чисел.

Определение

Экспоненциальная ${\textstyle E}$ на упорядоченном поле ${\textstyle K}$ является строго возрастающим изоморфизмом аддитивной группы ${\textstyle K}$ на мультипликативную группу положительных элементов ${\textstyle K}$. Заказанное поле $K\,$ вместе с дополнительной функцией $E\,$ называется упорядоченным экспоненциальным полем.

Примеры

• Каноническим примером упорядоченного экспоненциального поля является упорядоченное поле действительных чисел R с любой функцией вида ${\textstyle a^{x}}$ где ${\textstyle a}$ — действительное число, большее 1. Одной из таких функций является обычная показательная функция , то есть E ( x ) = e ^х . Упорядоченное поле R, снабженное этой функцией, дает упорядоченное действительное экспоненциальное поле, Rexp _{обозначаемое} . В 1990-х годах было доказано, что R _exp модельно полная , и этот результат известен как теорема Уилки . Этот результат в сочетании с теоремой Хованского о функциях Пфаффа доказывает, что R _exp также является o-минимальным . Альфред Тарский поставил вопрос о разрешимости R _exp , и поэтому он теперь известен как проблема показательной функции Тарского . Известно, что если реальная версия гипотезы Шануэля верна, то R _exp разрешима.
• Упорядоченное поле сюрреалистических чисел ${\textstyle \mathbf {No} }$ допускает экспоненту, которая продолжает экспоненциальную функцию exp на R . С ${\textstyle \mathbf {No} }$ не обладает архимедовым свойством , это пример неархимедова упорядоченного экспоненциального поля.
• Упорядоченное поле логарифмически-экспоненциальных трансрядов ${\textstyle \mathbb {T} ^{LE}}$ специально построено таким образом, что допускает каноническую экспоненту.

Формально экспоненциальные поля

Формально экспоненциальное поле, также называемое экспоненциально замкнутым полем, представляет собой упорядоченное поле, которое можно снабдить экспоненциальным полем. ${\textstyle E}$. Для любого формально экспоненциального поля ${\textstyle K}$, можно выбрать экспоненту ${\textstyle E}$ на ${\textstyle K}$ такой, что ${\textstyle 1+1/n<E(1)<n}$ для некоторого натурального числа ${\textstyle n}$.

Свойства

• Каждое упорядоченное экспоненциальное поле ${\textstyle K}$ является корневым , т. е. каждый положительный элемент $K\,$ имеет ${\textstyle n}$-й корень для всех положительных целых чисел ${\textstyle n}$ (или другими словами мультипликативная группа положительных элементов $K\,$ делится ) . Это так, потому что ${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$ для всех ${\textstyle a>0}$.
• Следовательно, каждое упорядоченное поле экспоненты является евклидовым полем .
• Следовательно, каждое упорядоченное поле экспоненты является упорядоченным полем Пифагора .
• Не всякое вещественно-замкнутое поле является формально экспоненциальным полем, например, поле действительных алгебраических чисел не допускает экспоненты. Это так, потому что экспоненциальная ${\textstyle E}$ должно быть в форме $E(x)=a^{x}\,$ для некоторых ${\textstyle 1<a\in K}$ в каждом формально экспоненциальном подполе ${\textstyle K}$ действительных чисел; однако, $E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}$ не является алгебраическим, если ${\textstyle 1<a}$ является алгебраическим по теореме Гельфонда–Шнайдера .
• Следовательно, класс формально экспоненциальных полей не является элементарным классом, поскольку поле действительных чисел и поле действительных алгебраических чисел являются элементарно эквивалентными структурами.
• Класс формально экспоненциальных полей является псевдоэлементарным классом . Это так, поскольку поле $K\,$ экспоненциально замкнуто тогда и только тогда, когда существует сюръективная функция ${\textstyle E_{2}\colon K\rightarrow K^{+}}$ такой, что ${\textstyle E_{2}(x+y)=E_{2}(x)E_{2}(y)}$ и ${\textstyle E_{2}(1)=2}$; и эти свойства ${\textstyle E_{2}}$ являются аксиоматизируемыми.

См. также

• Экспоненциальное поле

Ссылки

• Аллинг, Норман Л. (1962). «Об экспоненциально замкнутых полях» . Труды Американского математического общества . 13 (5): 706–711. дои : 10.2307/2034159 . JSTOR   2034159 . Збл   0136.32201 .
• Кульманн, Сальма (2000), Упорядоченные экспоненциальные поля , Монографии Института Поля, том. 12, Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/fim/012 , ISBN.  0-8218-0943-1 , МР   1760173