Псевдоэлементарный класс

В логике псевдоэлементарный класс — это класс структур, полученных из элементарного класса (определимого в логике первого порядка ) путем исключения некоторых его видов и отношений. Это математическо-логический аналог понятия в теории категорий ( кодобласти ) забывчивого функтора и в физике (предполагаемых) теорий скрытых переменных, претендующих на объяснение квантовой механики . Элементарные классы (бессмысленно) псевдоэлементарны, но обратное не всегда верно; тем не менее, псевдоэлементарные классы разделяют некоторые свойства элементарных классов, например, замкнутость относительно ультрапроизведений .

Определение [ править ]

класс Псевдоэлементарный является редукцией элементарного класса . То есть оно получается путем исключения некоторых видов и отношений (многосортного) элементарного класса.

Примеры [ править ]

Теорию равенства множеств при объединении и пересечении, структуры которой имеют вид ( W понимать , ∪, ∩), можно наивно как псевдоэлементарный класс, образованный из двухсортного элементарного класса структур вида ( A , W , ∪, ∩, ∈), где ∈ ⊆ A × W и ∪ и ∩ — бинарные операции ( четверичные отношения) на W . Теория последнего класса аксиоматизируется
∀ Икс ∈ W .∀ а ∈ А . Y , X ∨ a
∀ Икс ∈ W .∀ а ∈ А , Y . ∈ X ∧
∀ Икс ∈ W [ а ∈ А . ∀ X [ а ∈ Y∈ . ( Y ,
В предполагаемой интерпретации A представляет собой набор атомов a,b ,..., W представляет собой набор наборов атомов X,Y,... и ∈ является отношением принадлежности между атомами и наборами. Следствия этих аксиом включают в себя все законы дистрибутивных решеток . Поскольку в последних законах не упоминаются атомы, они остаются значимыми для структур, полученных из моделей вышеупомянутой теории за счет исключения сорта A атомов и отношения принадлежности ∈. Все дистрибутивные решетки представимы как множества множеств при объединении и пересечении, поэтому этот псевдоэлементарный класс фактически является элементарным классом, а именно многообразием дистрибутивных решеток.В этом примере оба класса (соответственно до и после пропуска) являются конечно аксиоматизируемыми элементарными классами. Но тогда как стандартный подход к аксиоматизации последнего класса использует девять уравнений для аксиоматизации дистрибутивной решетки, для первого класса требуются только три аксиомы, приведенные выше, что позволяет быстрее определить последний класс как редукцию первого, чем напрямую обычным способом.
Теория равенства бинарных отношений при объединении R ∪ S , пересечении R ∩ S , дополнении R ⁻, реляционная композиция R ; S и реляционный обратный R ^{${\breve {\ }}$}, структуры которого имеют вид ( W , ∪, ∩, −, ;, ^{${\breve {\ }}$}), можно понимать как псевдоэлементарный класс, образованный из трехсортного элементарного класса структур вида ( A , P , W , ∪, ∩, −, ;, ^{${\breve {\ }}$}, λ, ρ, π, ∈). Предполагаемая интерпретация трех видов — это атомы, пары атомов и наборы пар атомов, π: A ×; A → P и λ,ρ: P → A — очевидные спаривающие конструкторы и деструкторы, причем ∈ ⊆ P ×; W — отношение принадлежности между парами и отношениями (как наборами пар). По аналогии с примером 1 чисто реляционные связки, определенные на W, можно аксиоматизировать наивно в терминах атомов и пар атомов, как это принято во вводных текстах. Тогда чистая теория бинарных отношений может быть получена как теория псевдоэлементарного класса редуктов моделей этого элементарного класса, полученная путем исключения атомных и парных сортировок, а также всех отношений, включающих опущенные сорта.В этом примере оба класса элементарны, но только первый класс является конечно аксиоматизируемым, хотя последний класс (редукт), как было показано Тарским в 1955 году, тем не менее является разновидностью , а именно RRA , представимых алгебр отношений .
является Примитивное кольцо обобщением понятия простого кольца . Его можно определить на элементарном языке (первого порядка) через элементы и идеалы кольца, что приводит к возникновению элементарного класса двусортных структур, включающих кольца и идеалы. Класс примитивных колец получается из этого элементарного класса путем исключения сортов и языка, связанных с идеалами, и, следовательно, является псевдоэлементарным классом.В этом примере остается открытым вопрос, является ли этот псевдоэлементарный класс элементарным.
Класс экспоненциально замкнутых полей — псевдоэлементарный класс, не являющийся элементарным.

Приложения [ править ]

Квазимногообразие , определяемое логически как класс моделей универсальной теории Хорна, может быть эквивалентно определено алгебраически как класс структур, замкнутых относительно изоморфизмов , подалгебр и приведенных произведений . Поскольку понятие приведенного произведения более сложное, чем понятие прямого произведения , иногда полезно объединить логические и алгебраические характеристики в терминах псевдоэлементарных классов. Одно из таких смешанных определений характеризует квазимногообразие как псевдоэлементарный класс, замкнутый относительно изоморфизмов, подалгебр и прямых произведений (свойство псевдоэлементарности позволяет упростить «сведенное» до «прямого»).

Следствием этой характеристики является то, что можно (неконструктивно) доказать существование универсальной аксиоматизации Хорна класса, сначала аксиоматизируя некоторое расширение структуры с помощью вспомогательных видов и отношений, а затем показывая, что псевдоэлементарный класс, полученный путем исключения вспомогательных конструкций, равен замкнуто относительно подалгебр и прямых произведений. Этот метод работает для примера 2, поскольку подалгебры и прямые произведения алгебр бинарных отношений сами по себе являются алгебрами бинарных отношений, показывая, что класс RRA представимых алгебр отношений является квазимногообразием (и тем более элементарным классом). Это короткое доказательство представляет собой эффективное применение абстрактной бессмыслицы ; более сильный результат Тарского о том, что RRA на самом деле является разновидностью, требует более честного труда.

Ссылки [ править ]

Пол К. Эклоф (1977), Ультрапродукты для алгебраистов, в Справочнике по математической логике (под ред. Джона Барвайза ), Северная Голландия.