Евклидово поле

В математике евклидово поле — это упорядоченное поле $K$ , для которого каждый неотрицательный элемент является квадратом: то есть $x \geq 0$ в $K$ означает, что $x = y 2$ для некоторого $y$ в $K$ .

Конструктивные числа образуют евклидово поле. Это наименьшее евклидово поле, поскольку каждое евклидово поле содержит его как упорядоченное подполе. Другими словами, конструктивные числа образуют евклидово замыкание рациональных чисел .

Характеристики

Каждое евклидово поле является упорядоченным пифагоровым полем , но обратное неверно. ^[1]
Если E / F — конечное расширение и E евклидово, то и F тоже . Эта «теорема о понижении» является следствием теоремы Диллера – Дресса . ^[2]

Примеры

Действительные конструктивные числа , те (сознаковые) длины, которые могут быть построены из рационального отрезка с помощью конструкций линейки и циркуля , образуют евклидово поле. ^[3]

Каждое реальное замкнутое поле является евклидовым полем. Следующие примеры также являются реальными закрытыми полями.

Реальные цифры $\mathbb {R}$ с помощью обычных операций и упорядочения образуют евклидово поле.
Поле действительных алгебраических чисел $\mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}}$ является евклидовым полем.
Поле гипердействительных чисел является евклидовым полем.

Контрпримеры

Рациональные числа $\mathbb {Q}$ при обычных операциях и упорядочивании не образуют евклидово поле. Например, 2 не является квадратом в $\mathbb {Q}$ поскольку из 2 иррационален . квадратный корень ^[4] Согласно приведенному выше результату, ни одно поле алгебраических чисел не может быть евклидовым. ^[2]
Комплексные числа $\mathbb {C}$ не образуют евклидово поле, так как им нельзя придать структуру упорядоченного поля.

Евклидово замыкание

Евклидово замыкание упорядоченного поля $K$ является расширением $K$ в квадратичном замыкании K $,$ которое является максимальным относительно того, чтобы быть упорядоченным полем с порядком, расширяющим порядок $K$ . ^[5] Это также наименьшее подполе алгебраического замыкания K $,$ является евклидовым полем и является упорядоченным расширением K $которое$ .

Ссылки

^ Мартин (1998) с. 89
^ Jump up to: ^а ^б Лам (2005) стр.270
^ Мартин (1998), стр. 35–36.
^ Мартин (1998) с. 35
^ Эфрат (2006) с. 177

Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К -теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-Х . Збл 1103.12002 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
Мартин, Джордж Э. (1998). Геометрические конструкции . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-98276-0 . Збл 0890.51015 .

Внешние ссылки

Евклидово поле в PlanetMath .

[M89-1] Мартин (1998) с. 89

[Lam270-2] Jump up to: ^а ^б Лам (2005) стр.270

[M3536-3] Мартин (1998), стр. 35–36.

[M35-4] Мартин (1998) с. 35

[Efr177-5] Эфрат (2006) с. 177

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]