Геометрические конструкции
«Геометрические конструкции» — это учебник математики по конструируемым числам и, в более общем смысле, по использованию абстрактной алгебры для моделирования наборов точек, которые могут быть созданы с помощью определенных типов геометрических построений, а также по использованию теории Галуа для доказательства ограничений на возможные конструкции. Он был написан Джорджем Мартином и опубликован издательством Springer-Verlag в 1998 году как 81-й том серии книг «Тексты для студентов по математике» .
Темы
[ редактировать ]В «Геометрических конструкциях» десять глав. [1] В первых двух обсуждаются конструкции линейки и циркуля , включая многие конструкции из Евклида «Начал» , а также их алгебраическую модель — конструируемые числа . Они также включают результаты о невозможности для классических греческих задач о построении линейки и циркуля: невозможность удвоения куба и разделения угла на три части доказывается алгебраически, а невозможность квадратуры круга и построения некоторых правильных многоугольников упоминается, но не доказывается. [1] [2]
В следующих четырех главах изучается, что происходит, когда использование циркуля или линейки ограничено: согласно теореме Мора-Машерони, конструктивные возможности не теряются, если использовать только циркуль, но линейка без циркуля имеет значительно меньшую мощность, если только предусмотрена вспомогательная окружность ( теорема Понселе–Штайнера ). В этих главах также обсуждается ограничение использования циркуля разделителями, инструментами, которые могут переносить сегменты линий на равные сегменты других линий, но не могут использоваться для поиска пересечений окружностей с другими кривыми, или ржавыми циркулями, циркулями, которые не могут изменять радиус и используют разделители для построения кругов Малфатти . [1] [2]
Последние три главы посвящены не только линейке и циркулю, но и другим строительным инструментам. Крайне ограниченная форма построения, «геометрия спичек» Томаса Рейнера Доусона 1930-х годов, использует только единичные сегменты линий, которые можно располагать вдоль друг друга, пересекать или поворачивать вокруг одной из своих конечных точек; несмотря на свою ограниченность, он оказывается таким же мощным, как линейка и циркуль. В главе 9 рассматриваются конструкции неусиса с размеченной линейкой, а в последней главе исследуется математика складывания бумаги ; отмеченные модели складывания линейки и бумаги алгебраически эквивалентны, и обе допускают конструкции для трисекции угла. [1] [2]
Помимо описываемой математики, «Геометрические конструкции» включают в себя множество исторических фактов. [2] цитаты и указатели на исходный материал для дополнительного чтения, [3] а также решения и подсказки к его многочисленным упражнениям. [4]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Первоначально Мартин планировал, что его книга станет учебником для студентов, планирующих стать учителями математики, для выпускников. [2] Однако, помимо этого, его также может прочитать любой, кто интересуется историей геометрии и имеет степень бакалавра абстрактной алгебры, или использовать его в качестве справочного материала по теме геометрических построений. [4]
Рецензент Хорст Мартини пишет, что это «передает радость от этой темы». [1] в то время как Морис Берк описывает книгу как книгу, которая «приглашает читателя поиграть в игру, совершать частые путешествия, многие из которых неожиданные, и наслаждаться поездкой». [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Мартини, Хорст, «Обзор геометрических построений », zbMATH , Zbl 0890.51015.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Памбучян, Виктор В. (1998), «Обзор геометрических конструкций », MathSciNet , MR 1483895
- ^ Седерберг, Джудит Н. (октябрь 1998 г.), «Обзор геометрических построений », Телеграфные обзоры, American Mathematical Monthly , 108 (8): 790, JSTOR 2589015
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Берк, Морис (май 1999 г.), «Обзор геометрических построений », Учитель математики , 92 (5): 454, 456, JSTOR 27971041.