круги Малфатти

круги Малфатти

В геометрии — круги Малфатти это три круга внутри данного треугольника, причем каждый круг касается двух других и двух сторон треугольника. Они названы в честь Джан Франческо Мальфатти , который провел ранние исследования проблемы построения этих кругов, ошибочно полагая, что они будут иметь наибольшую возможную общую площадь из любых трех непересекающихся кругов внутри треугольника.

Проблема Малфатти использовалась как для обозначения проблемы построения кругов Малфатти, так и для проблемы поиска трех кругов, максимизирующих площадь, внутри треугольника.Простая конструкция кругов Малфатти была дана Штейнером (1826) , и с тех пор эту проблему изучали многие математики. Сам Малфатти предоставил формулу для радиусов трех кругов, и их также можно использовать для определения двух центров треугольника , точек Аджимы-Малфатти треугольника.

Проблема максимизации общей площади трех кругов в треугольнике никогда не решается с помощью кругов Малфатти. Вместо этого оптимальное решение всегда можно найти с помощью жадного алгоритма , который находит самый большой круг внутри данного треугольника, самый большой круг внутри трех связанных подмножеств треугольника за пределами первого круга и самый большой круг среди пяти связанных подмножеств треугольника. треугольник за пределами первых двух кругов. Хотя эта процедура была впервые сформулирована в 1930 году, ее правильность не была доказана до 1994 года.

Проблема Малфатти

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли жадный алгоритм находит в любом треугольнике упаковки с максимальной площадью, состоящие из более чем трех кругов?

(еще нерешенные задачи по математике)

В равностороннем треугольнике площадь кругов Малфатти (слева) примерно на 1% меньше, чем площадь трех кругов, увеличивающих площадь (справа).

Джан Франческо Мальфатти ( 1803 ) поставил задачу вырезать три цилиндрические колонны из треугольной призмы мрамора, максимально увеличив общий объём колонн. Он предположил, что решение этой проблемы дают три касательные окружности внутри треугольного сечения клина. То есть, говоря более абстрактно, он предположил, что три круга Малфатти имеют максимальную общую площадь среди любых трех непересекающихся кругов внутри данного треугольника. Работа Мальфатти была популяризирована для более широкой читательской аудитории на французском языке Жозефом Диасом Жергонном в первом томе его «Анналов» ( 1811 г. ) с дальнейшим обсуждением во втором и десятом. Однако Жергонн сформулировал только проблему касания окружности, а не задачу максимизации площади.

В равнобедренном треугольнике с острой вершиной круги Малфатти (вверху) занимают примерно половину площади трех кругов, сложенных с помощью жадного алгоритма (внизу).

Предположение Малфатти об эквивалентности этих двух проблем неверно. Лоб и Ричмонд ( 1930 ), которые вернулись к оригинальному итальянскому тексту, заметили, что для некоторых треугольников большей площади можно достичь с помощью жадного алгоритма , который вписывает в треугольник один круг максимального радиуса, вписывает второй круг в один из три оставшихся угла треугольника, тот, который имеет наименьший угол, и вписывает третий круг в самую большую из пяти оставшихся частей. Разница площадей равностороннего треугольника невелика, чуть более 1%, но, как Говард Ивс ( 1946 указал ), для равнобедренного треугольника с очень острой вершиной оптимальные круги (наложенные друг на друга над основанием треугольника) имеют почти вдвое большую площадь, чем круги Малфатти.

На самом деле, круги Малфатти никогда не бывают оптимальными. С помощью численных вычислений в 1960-х годах было обнаружено, а позже строго доказано, что процедура Лоба – Ричмонда всегда дает три круга наибольшей площади и что они всегда больше, чем круги Малфатти. Мелиссен (1997) предположил в более общем смысле, что для любого целого числа n жадный алгоритм находит набор из n кругов, максимизирующий площадь, внутри данного треугольника; известно, что гипотеза верна для n ≤ 3 .

История

Задача построения трех окружностей, касающихся друг друга внутри треугольника, была поставлена ​​японским математиком XVIII века Адзимой Наонобу до работы Малфатти и включена в неопубликованный сборник работ Адзимы, составленный через год после смерти Адзимы его учеником Кусакой. Макото. Еще раньше та же проблема рассматривалась в рукописи 1384 года Джилио ди Чекко да Монтепульчано, ныне хранящейся в библиотеке Сиены Муниципальной , Италия . Якоб Бернулли ( 1744 ) изучил частный случай проблемы для конкретного равнобедренного треугольника .

Со времени работы Малфатти был проведен значительный объем работы над методами построения трех касательных окружностей Малфатти; Ричард К. Гай пишет, что литература по этой проблеме «обширна, широко разбросана и не всегда осознает себя». Примечательно, что Якоб Штайнер ( 1826 ) представил простую геометрическую конструкцию, основанную на биткасательных ; другие авторы с тех пор утверждали, что в презентации Штайнера не было доказательства, которое позже было предоставлено Эндрю Хартом ( 1856 г. ), но Гай указывает на доказательство, разбросанное по двум собственным статьям Штайнера того времени. К решениям, основанным на алгебраических формулировках задачи, относятся решения К. Л. Лемуса ( 1819 г. ), Э. К. Каталана ( 1846 г. ), К. Адамса ( 1846 , 1849 г. ), Ж. Деруссо ( 1895 г. ) и Андреаса Пампуха ( 1904 г. ). Алгебраические решения не различают внутренние и внешние касания кругов и данного треугольника; если проблема обобщается и допускает касания любого типа, то у данного треугольника будет 32 различных решения, и, наоборот, тройка взаимно касающихся кругов будет решением для восьми разных треугольников. Боттема (2001) приписывает перечисление этих решений Пампучу (1904) , но Каджори (1893) отмечает, что этот подсчет количества решений уже был дан в замечании Штайнера (1826) . Проблема и ее обобщения были предметом многих других математических публикаций XIX века. и с тех пор его история и математика являются предметом постоянных исследований. Это также часто встречающаяся тема в книгах по геометрии.

Гатто (2000) и Маццотти (1998) рассказывают об эпизоде ​​в неаполитанской математике XIX века, связанном с кругами Малфатти. В 1839 году Винченцо Флаути , синтетический геометр , поставил задачу, предполагающую решение трёх геометрических задач, одной из которых было построение кругов Малфатти; его намерением при этом было показать превосходство синтетических методов над аналитическими. Несмотря на решение, предложенное Фортунато Падулой, студентом конкурирующей школы аналитической геометрии , Флаути вручил премию своему ученику Николе Труди, чьи решения Флаути знал, когда поставил перед собой задачу. Совсем недавно проблема построения окружностей Малфатти использовалась в качестве тестовой задачи для систем компьютерной алгебры .

Конструкция Штайнера

Конструкция Штайнера кругов Малфатти с использованием биткасательных.

Хотя большая часть ранних работ по кругам Малфатти использовала аналитическую геометрию , Штейнер (1826) предложил следующую простую синтетическую конструкцию.

Окружность, касающаяся двух сторон треугольника, как и окружности Малфатти, должна быть сосредоточена на одной из биссектрис треугольника (зеленого цвета на рисунке). Эти биссектрисы делят треугольник на три меньших треугольника, и построение Штайнером кругов Малфатти начинается с рисования другой тройки кругов (показаны пунктиром на рисунке), вписанных в каждый из этих трех меньших треугольников. В общем случае эти окружности не пересекаются, поэтому каждая пара двух окружностей имеет четыре бикасательных (линии, касающиеся обеих). своими окружностями проходят две такие бикасательные Между : одна — биссектриса угла, а вторая показана на рисунке красной пунктирной линией. Обозначьте три стороны данного треугольника как a , b и c , а три бикасательные, которые не являются биссектрисами угла, обозначьте как x , y и z , где x — бикасательная к двум окружностям, которые не касаются стороны a . y — касательная к двум окружностям, не касающимся стороны b , а z — касательная к двум окружностям, не соприкасающимся со стороной b. в . Тогда три окружности Малфатти являются вписанными окружностями в три касательных четырехугольника abyx , aczx и bczy . В случае симметрии два пунктирных круга могут соприкасаться в точке биссектрисы, в результате чего там совпадают две бикасательные, но при этом создаются соответствующие четырехугольники для кругов Малфатти.

Три бикасательных x , y и z пересекают стороны треугольника в точке касания с третьей вписанной окружностью, а также могут быть найдены как отражения биссектрис угла через линии, соединяющие пары центров этих вписанных окружностей.

Формула радиуса

Радиус каждого из трех кругов Малфатти можно определить по формуле, включающей три длины сторон a , b и c треугольника , внутренний радиус r и полупериметр. $s=(a+b+c)/2$и три расстояния d , e и f от центра треугольника до вершин, противоположных сторонам a , b и c соответственно. Формулы для трех радиусов: $${\begin{aligned}r_{1}&={\frac {r}{2(s-a)}}(s-r+d-e-f),\\r_{2}&={\frac {r}{2(s-b)}}(s-r-d+e-f),\\r_{3}&={\frac {r}{2(s-c)}}(s-r-d-e+f).\\\end{aligned}}$$

Сопутствующие формулы можно использовать для поиска примеров треугольников, длины сторон, внутренние радиусы и радиусы Малфатти которых являются рациональными числами или целыми числами. Например, треугольник с длинами сторон 28392, 21000 и 25872 имеет внутр. радиус 6930 и радиусы Малфатти 3969, 4900 и 4356. Другой пример: треугольник с длинами сторон 152460, 165000 и 190740 имеет внутр. радиус 47520 и радиусы Малфатти 2722. 5, 30976 и 32400.

Очки Аджима-Малфатти

Первая точка Аджима – Малфатти

Дан треугольник ABC и три окружности Малфатти, и пусть D , E и F — точки, в которых две окружности касаются друг друга, противоположные вершины A , B и C соответственно. Затем три линии AD , BE и CF встречаются в одном центре треугольника, известном как первая точка Аджимы – Малфатти после вклада Аджимы и Малфатти в проблему круга. Вторая точка Аджима-Малфатти является точкой встречи трех линий, соединяющих касания окружностей Малфатти с центрами вписанных окружностей треугольника. Другие центры треугольников, также связанные с кругами Малфатти, включают точку Ифф-Малфатти, образованную так же, как и первая точка Малфатти, из трех взаимно касающихся окружностей, которые все касаются линий, проходящих через стороны данного треугольника, но частично лежат вне треугольника, и радикальный центр трех кругов Малфатти (точка, где встречаются три бикасательные, использованные при их построении).

См. также

• Упаковка кругов в равносторонний треугольник
• Упаковка кругов в равнобедренный прямоугольный треугольник
• Теорема о шести кругах

Ссылки

• Адамс, К. (1846), Проблема Мальфаттиша , Winterthür: Druck und Verlag der Steiner'schen Buchhandlung, hdl : 2027/miun.abv4116.0001.001 .
• Адамс, К. (1849), «Леммы о окружностях, вписанных в треугольник, и алгебраическое решение проблемы Малфатти» , Nouvelles Annales de Mathématiques , 8 : 62–63 .
• , Аффольтер Mathematische Annalen, 6 (4): 597–602, doi:10.1007/BF01443199, MR 1509836, S2CID 120293529о.
• Андреатта, Марко; Бездек, Андраш; Бороньски, Ян П. (2010), «Проблема Малфатти: два столетия дебатов» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 33 (1): 72–76, doi : 10.1007/s00283-010-9154-7 , S2CID   55185397 .
• Андрееску, Титу; Мушкаров Олег; Стоянов, Лучезар Н. (2006), «2.3 Проблемы Малфатти» , Геометрические задачи о максимумах и минимумах , Биркхойзер, стр. 80–87, doi : 10.1007/0-8176-4473-3 , ISBN  978-0-8176-3517-6 .
• Бейкер, HF (1925), «II.Ex.8: Решение проблемы Малфатти» , «Принципы геометрии», Vol. IV: Высшая геометрия , Издательство Кембриджского университета, стр. 68–69 .
• Бейкер, Маркус (1874), «История проблемы Малфатти» , Бюллетень Философского общества Вашингтона , 2 : 113–123 .
• Беллакки, Г. (1895), «Заметки о проблеме Малфатти», Журнал «Математика для среднего образования » , 10 : 25–26 , 93–96 , 156–163 . Продолжение в т. 11 (1896), с. 25–27 .
• Бернулли, Якоб (1744), «Решение тергемини-проблемы: Лемма II» , Опера , т. Я, Женева: Крамер и Филиберт, стр. 303–305.
• Боттема, Оэне (2001), «Проблема Малфатти» (PDF) , Forum Geometricorum , 1 : 43–50, MR   1891514 .
• Каджори, Флориан (1893), История математики , Macmillan & Co., стр. 296 .
• Кейси, Джон (1882), «VI.61 Проблема Малфатти» , продолжение первых шести книг «Элементов Евклида» (2-е изд.), Лондон: Longmans, Green, & Co, стр. 152–153 .
• Каталан, Э. (1846), «Заметки о проблеме Малфатти» , Nouvelles Annales de Mathématiques , 5 : 60–64 .
• Кэли, А. (1849), «О системе уравнений, связанной с проблемой Малфатти, и о другой алгебраической системе», The Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 4 : 270–275 . Перепечатано в Кэли, А. (1889a), Сборник математических статей Артура Кэли, Vol. I , Издательство Кембриджского университета, стр. 465–470 .
• Кэли, А. (1854), «Аналитические исследования, связанные с расширением Штайнером проблемы Малфатти», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 142 : 253–278, doi : 10.1098/rspl.1850.0072 . Перепечатано в Кэли, А. (1889b), Сборник математических статей Артура Кэли, Vol. II , Издательство Кембриджского университета, стр. 57–86 .
• Кэли, А. (1857), «О решении Шеллбахом проблемы Малфатти», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 1 : 222–226 . Перепечатано в Кэли, А. (1890), Сборник математических статей Артура Кэли, Том. III , Издательство Кембриджского университета, стр. 44–47 .
• Кэли, А. (1875–1876), «О системе уравнений, связанной с проблемой Малфатти» , Proceedings of the London Mathematical Society , 7 : 38–42, doi : 10.1112/plms/s1-7.1.38 . Перепечатано в Кэли, А. (1896), Сборник математических статей Артура Кэли, Том. IX , Издательство Кембриджского университета, стр. 546–550 .
• Клебш, А. (1857), «Применение эллиптических функций к проблеме геометрии пространства» , Журнал чистой и прикладной математики , 1857 (53): 292–308, doi : 10.1515/crll.1857.53.292 , S2CID   122806088 .
• Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1916), Трактат о круге и сфере , Оксфорд: Clarendon Press, стр. 174–183 .
• Даниэльссон, Олафур (1926), «Проблема Эн Лёснинга Малфаттиса», Matematisk Tidsskrift A : 29–32, JSTOR   24534655 .
• Деруссо, Ж. (1895), «История и полное аналитическое решение проблемы Малфатти» , Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège , 2-я сер., 18 : 1–52 .
• Дорри, Х. (1965), «§30. Проблема Малфатти», 100 великих проблем элементарной математики: их история и решения , Нью-Йорк: Дувр, стр. 147–151, ISBN  978-0-486-61348-2 .
• Ивс, Ховард (1946), «Проблема Малфатти (задача 4145)», Проблемы и решения, American Mathematical Monthly , 53 (5): 285–286, doi : 10.2307/2305117 , JSTOR   2305117 .
• Фиокка, Алессандра (1980), «Проблема Малфатти в математической литературе XIX века» , Annali dell'Università di Ferrara , 26 (1): 173–202, doi : 10.1007/BF02825179 , S2CID   118548931 .
• Фукагава, Хидэтоси; Ротман, Тони (2008), Сакральная математика: геометрия японского храма , Princeton University Press, стр. 79 , ISBN  978-0-691-12745-3 .
• Габай, Хайман; Либан, Эрик (1968), «О неравенстве Гольдберга, связанном с проблемой Малфатти», Mathematics Magazine , 41 (5): 251–252, doi : 10.1080/0025570x.1968.11975890 , JSTOR   2688807
• Гатто, Романо (2000), «Дебаты о методах и вызов Винченцо Флаути математикам Неаполитанского королевства», Национальное общество наук, литературы и искусства в Неаполе. Отчет Академии физико-математических наук , Серия IV, 67 : 181–233, МР   1834240 .
• Годт, В. (1877), «Об обобщении Штайнером проблемы Мальфаттиша» , Журнал чистой и прикладной математики , 84 : 259–263 .
• Гольдберг, М. (1967), «Об исходной задаче Малфатти», Mathematics Magazine , 40 (5): 241–247, doi : 10.2307/2688277 , JSTOR   2688277 , MR   1571715 .
• Гай, Ричард К. (2007), «Теорема о маяке, Морли и Малфатти — бюджет парадоксов», American Mathematical Monthly , 114 (2): 97–141, doi : 10.1080/00029890.2007.11920398 , JSTOR   27642143 , MR   2290364 , S2CID   46275242 .
• Хагге, К. (1908), «О построении кругов Мальфаттиша» , Журнал для математического и естественнонаучного образования , 39 : 580–588 .
• Харт, Эндрю С. (1856), «Геометрическое исследование конструкции Штейнера для проблемы Малфатти» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 1 : 219–221 .
• Хитотумату, Син (1995), «Проблема Малфатти», Состояние научных вычислений и их перспективы, II , Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (на японском языке), vol. 915, стр. 167–170, МР   1385273 .
• Хорват, Акос Г. (2014), «Проблема Малфатти на гиперболической плоскости», Венгерские исследования математических наук , 51 (2): 201–212, arXiv : 1204.5014 , doi : 10.1556/SScMath.51.2014.2.1276 , MR   3238131 .
• Лебон, Эрнест (1889), «Решение проблемы Мальфатти» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 3 (1): 120–130, doi : 10.1007/bf03011513 , S2CID   120020307 .
• Лехмюц, CL (1819), «Новое решение проблемы, в которой речь идет о вписывании в любой заданный треугольник трех окружностей так, чтобы каждая из них касалась двух других и двух сторон треугольника» , Смешанная геометрия, Annales de Mathématiques Pure и прикладное , 10 : 289–298 .
• Лоб, Х.; Ричмонд, HW (1930), «О решениях проблемы Малфатти для треугольника», Труды Лондонского математического общества , 2-я серия, 30 (1): 287–304, doi : 10.1112/plms/s2-30.1.287 .
• Лебер, Курт (1914), Вклад в решение и историю проблемы Малфаттена и ее расширений , Докторская диссертация, Университет Мартина Лютера, Галле-Виттенберг . См. также Курта Лебера в проекте «Математическая генеалогия» .
• Ломбарди, Джанкарло (июнь 2022 г.), «Доказательство решения задачи о мраморе Малфатти», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , Series 2, 72 (3): 1751–1782, doi : 10.1007/s12215-022-00759-2 , S2CID   249915691 .
• Мальфатти, Джанфранческо (1803), «Память о стереотомической проблеме» , Мемуары математики и физики Итальянского общества наук , 10 : 235–244 .
• Мартин, Джордж Эдвард (1998), «Проблема Малфатти» , Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике , Springer-Verlag, стр. 92–95, ISBN  978-0-387-98276-2 . На обложке книги Мартина изображены круги Малфатти.
• Маццотти, Массимо (1998), «Геометры Бога: математика и реакция в Неаполитанском королевстве» (PDF) , Isis , 89 (4): 674–701, doi : 10.1086/384160 , hdl : 10036/31212 , MR   1670633 , S2CID   143956681 , заархивировано из оригинала (PDF) 14 апреля 2016 г. , получено 10 июня 2011 г.
• Мелиссен, Дж.Б.М. (1997), Упаковка и покрытие кругами , докторская диссертация, Утрехтский университет. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
• Мертенс, Ф. (1873), «О задаче Малфаттика для сферического треугольника». , Журнал чистой и прикладной математики , 1873 (76): 92–96, doi : 10.1515/crll.1873.76.92 , S2CID   124307093 .
• Миллер, WJC, изд. (1875), «Задача 4331», Математические вопросы и их решения, из «Образовательных времен» (PDF) , вып. 16, Ходжсон, стр. 70–71, Бибкод : 1877Natur..16..417. , doi : 10.1038/016417a0 , S2CID   45983078 . Предложено Артемасом Мартином ; решено автором предложения и Ашером Б. Эвансом; сравните Вопрос Мартина 4401, также в этом томе, стр. 102–103, снова решенный Эвансом и Мартином. Обратите внимание также, что Мартин просил геометрическое решение в «Дневнике леди и джентльмена» за 1869 год (появившееся таким образом в конце 1868 года), а решение в LDG на следующий год, стр. 89–90. Затем версии проблемы появляются с 1879 года в «Математическом посетителе » под редакцией Мартина.
• Найто, Джун (1975), «Обобщение проблемы Малфатти», Научные отчеты педагогического факультета Университета Гифу: естественные науки , 5 (4): 277–286, MR   0394416
• Огилви, К. Стэнли (1990), «Проблема Малфатти» , «Экскурсии по геометрии» , Дувр, стр. 145–147 , ISBN  978-0-486-26530-8 .
• Паукер, М.Г. (1831), «Мемуары по вопросу геометрии, касающемуся движения кругов» , «Мемуары, представленные Императорской Академии наук Санкт-Петербурга Дайвером Савансом» , 1 : 503–586 .
• Пампуч, А. (1904), «32 решения проблемы Малфатиса» , Архив математики и физики , 3-я сер., 8 (1): 36–49 .
• Плюкер Дж. (1834a), «Проблема Малфатика» , Журнал чистой и прикладной математики , 11 : 117–129, doi : 10.1515/crll.1834.11.117 , S2CID   199547169 .
• Плюкер, Дж. (1834b), «Об обобщении Штайнером проблемы Мальфаттише» , Журнал чистой и прикладной математики , 11 : 356–360, doi : 10.1515/crll.1834.11.356 , S2CID   199546776 .
• Прочисси, Ангиоло (1932), «Вопросы, связанные с проблемой Малфатти, и библиография», Periodico di Matematiche: Storia, Didattica, Filosofia , 12 : 189–205 . Цитируется Гаем (2007) и Фиоккой (1980) .
• Руш, Эжен ; де Комберус, Шарль (1891), «Проблема Мальфатти» , Трактат по геометрии, первая часть: плоская геометрия (6-е изд.), Париж: Готье-Виллар, стр. 295–298 .
• Куидд, А. (1850), «Проблема Мальфаттиша. Доказательство конструкции Штейнера» , Архив математики и физики , 15 : 197–204 .
• Роджерс, LJ (1928), «899. Тригонометрическое решение проблемы Малфатти об описании трех взаимно соприкасающихся окружностей, каждая из которых касается двух сторон треугольника», The Mathematical Gazette , 14 (194): 143, doi : 10.2307/ 3602652 , JSTOR   3602652 , S2CID   188799431 .
• Скардапане, Н.М. (1931), «Проблема Малфатти», Журнал «Математика: история, дидактика, философия» , 11 : 281–292 . Цитируется Фиоккой (1980) .
• Шеффлер, Х. (1851), «Решение проблемы Малфатти» , Архив математики и физики , 16 : 424–430 .
• Шеллбах, К.Х. (1853), «Решение проблемы Малфатти в прямолинейном и сферическом треугольнике» , Nouvelles Annales de Mathématiques , 12 : 131–136 .
• Шретер, Х. (1874), «Решение Штайнера проблемы Мальфатиша» , Журнал чистой и прикладной математики , 77 : 230–244 .
• Зейтц, Э.Б. (1875), «Решение проблемы», The Analyst , 2 (3): 74–76, doi : 10.2307/2635869 , JSTOR   2635869 .
• Сими, А.; Тоти Ригателли, Л. (1993), «Некоторые тексты 14-го и 15-го веков по практической геометрии», Vestigia mathematica , Амстердам: Родопи, стр. 453–470, MR   1258835 .
• Саймонс, Пенсильвания (1874), «Некоторые размышления о проблеме Малфатти» , Бюллетени Королевской академии наук, Письма и изящные искусства Бельгии , 2-я серия, 38 : 88–108 .
• Штайнер, Джейкоб (1826), «Некоторые геометрические соображения» , Журнал чистой и прикладной математики , 1 : 161–184, 252–288, doi : 10.1515/crll.1826.1.161 , S2CID   122065577 . Перепечатано в Штайнер, Якоб (1881), Вейерштрасс, К. (редактор), Собрание сочинений , Берлин: Печать и публикация Г. Раймера, стр. 17–76 и отдельно как Штайнер, Якоб (1901), Штерн, Рудольф (ред.), Некоторые геометрические соображения , Лейпциг: Verlag von Wilhelm Engelmann . См., в частности, раздел 14, стр. 25–27 перепечатки Энгельмана .
• Стеванович, Милорад Р. (2003), «Центры треугольников, связанные с кругами Малфатти» (PDF) , Forum Geometricorum , 3 : 83–93, MR   2004112 .
• Сильвестр, JJ (1850), «XLVIII. О решении системы уравнений, в которой три однородные квадратичные функции трех неизвестных величин соответственно равны числовым кратным четвертой неоднородной функции того же самого» , Лондон, Эдинбург и Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 37 (251): 370–373, doi : 10.1080/14786445008646630 .
• Талбот, Х.Ф. (1867), «Исследования проблемы Малфатти» , Труды Королевского общества Эдинбурга , 24 : 127–138, doi : 10.1017/S0080456800031689 , S2CID   122494700 .
• Такэсима, Таку; Анаи, Хирокадзу (1996), «Компьютерная алгебра в применении к задаче Малфатти о построении трех касательных окружностей внутри треугольника — построение башен над полем рациональных функций», Исследования по теории компьютерной алгебры и ее приложениям , Сурикайсекикенкюсё Кокюроку (в японский), т. 941, стр. 15–24, МР   1410316 .
• Теркем, О. (1847), «Проблема Мальфатти. Геометрическое решение» , Nouvelles Annales de Mathématiques , 6 : 346–350 .
• Уэделл, Шарлотта (1897), Применение теории эллиптических функций к решению проблемы Малфатти , Докторская диссертация, Университет Лозанны .
• Уэллс, Дэвид (1991), «Проблема Малфатти», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Нью-Йорк: Penguin Books, стр. 145–146 , ISBN  978-0-14-011813-1 .
• Виттштейн, Армин (1871), История проблемы Малфатти , Докторская диссертация, Мюнхен: Эрлангенский университет . См. также Армина Витштейна в проекте «Математическая генеалогия» .
• Залгаллер, В.А. (1994), «Неравенство для остроугольных треугольников», Journal of Mathematical Sciences , 72 (4): 3160–3162, doi : 10.1007/BF01249513 , MR   1267527 , S2CID   121622126 .
• Залгаллер, Вирджиния ; Лось, Г.А. (1994), «Решение проблемы Малфатти», Journal of Mathematical Sciences , 72 (4): 3163–3177, doi : 10.1007/BF01249514 , S2CID   120731663 .
• Зорнов, А. (1833), «Демонстрация решения проблемы Мальфатти, не для г-на Штайнера, стр. 178. du tome I. cah. 2» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematics , 1833 (10): 300 –302, doi : 10.1515/crll.1833.10.300 , MR   1577950 , S2CID   123031698 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Круги Малфатти » (« Проблема Малфатти ») в MathWorld .
• Проблема Малфатти при развязывании узла