Упаковка кругов в равносторонний треугольник

Упаковка кругов в равносторонний треугольник — это проблема упаковки в дискретной математике , цель которой — упаковать $n$ единичных кругов в наименьший возможный равносторонний треугольник . Оптимальные решения известны для $n < 13$ и любого треугольного числа окружностей, а гипотезы доступны для $n < 28$ . ^[1]^[2]^[3]

Гипотеза Пола Эрдеша и Нормана Олера гласит, что если $n$ — треугольное число, то оптимальные упаковки $n - 1$ и $n$ кругов имеют одинаковую длину стороны: то есть, согласно гипотезе, оптимальная упаковка для $n — 1$ круг можно найти, удалив любой отдельный круг из оптимальной шестиугольной упаковки из $n$ кругов. ^[4] Теперь известно, что эта гипотеза верна для $n \leq 15$ . ^[5]

Минимальные решения для длины стороны треугольника: ^[1]

Число кругов	Треугольник число	Длина	Область
1	Да	$2{\sqrt {3}}$ = 3.464...	5.196...
2		$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
3	Да	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
4		$4{\sqrt {3}}$ = 6.928...	20.784...
5		$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
6	Да	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
7		$2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928...	34.516...
8		$2+2{\sqrt {3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293...	37.401...
9		$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
10	Да	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
11		$4+2{\sqrt {3}}+{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730...	49.854...
12		$4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928...	51.712...
13		$4+{\tfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406...	56.338...
14		$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...
15	Да	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...

Тесно связанная проблема - покрыть равносторонний треугольник фиксированным количеством равных кругов как можно меньшего радиуса. ^[6]

См. также

Упаковка кругов в равнобедренный прямоугольный треугольник
Круги Малфатти — три круга возможно неравных размеров, упакованные в треугольник.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Мелиссен, Ганс (1993), «Самые плотные упаковки конгруэнтных кругов в равностороннем треугольнике», The American Mathematical Monthly , 100 (10): 916–925, doi : 10.2307/2324212 , JSTOR 2324212 , MR 1252928 .
^ Мелиссен, JBM; Шур, ПК (1995), «Упаковка 16, 17 или 18 кругов в равносторонний треугольник» , Discrete Mathematics , 145 (1–3): 333–342, doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C , MR 1356610 .
^ Грэм, РЛ ; Любачевский Б.Д. (1995), "Плотные упаковки равных дисков в равностороннем треугольнике: от 22 до 34 и далее" , Электронный журнал комбинаторики , 2 : Статья 1, прим. 39 стр. (в электронном виде), МР 1309122 .
^ Олер, Норман (1961), «Проблема конечной упаковки», Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR 0133065 .
^ Паян, Чарльз (1997), «Сложение равных кругов в равносторонний треугольник. О гипотезе Эрдеша-Олера», Discrete Mathematics (на французском языке), 165/166: 555–565, doi : 10.1016/S0012 -365X (96) 00201-4 , МР 1439300 .
^ Нурмела, Кари Дж. (2000), «Гипотетически оптимальные покрытия равностороннего треугольника, содержащие до 36 равных окружностей» , Экспериментальная математика , 9 (2): 241–250, doi : 10.1080/10586458.2000.10504649 , MR 1780209 , S2CID 4512709 0 .

Эта элементарной геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Melissen-1] Jump up to: ^а ^б Мелиссен, Ганс (1993), «Самые плотные упаковки конгруэнтных кругов в равностороннем треугольнике», The American Mathematical Monthly , 100 (10): 916–925, doi : 10.2307/2324212 , JSTOR 2324212 , MR 1252928 .

[2] Мелиссен, JBM; Шур, ПК (1995), «Упаковка 16, 17 или 18 кругов в равносторонний треугольник» , Discrete Mathematics , 145 (1–3): 333–342, doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C , MR 1356610 .

[3] Грэм, РЛ ; Любачевский Б.Д. (1995), "Плотные упаковки равных дисков в равностороннем треугольнике: от 22 до 34 и далее" , Электронный журнал комбинаторики , 2 : Статья 1, прим. 39 стр. (в электронном виде), МР 1309122 .

[4] Олер, Норман (1961), «Проблема конечной упаковки», Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR 0133065 .

[5] Паян, Чарльз (1997), «Сложение равных кругов в равносторонний треугольник. О гипотезе Эрдеша-Олера», Discrete Mathematics (на французском языке), 165/166: 555–565, doi : 10.1016/S0012 -365X (96) 00201-4 , МР 1439300 .

[6] Нурмела, Кари Дж. (2000), «Гипотетически оптимальные покрытия равностороннего треугольника, содержащие до 36 равных окружностей» , Экспериментальная математика , 9 (2): 241–250, doi : 10.1080/10586458.2000.10504649 , MR 1780209 , S2CID 4512709 0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Проблемы с упаковкой
Абстрактная упаковка	Бин Набор
Упаковка круга	В круге / равносторонний треугольник / равнобедренный прямоугольный треугольник / квадрат Аполлоническая прокладка Теорема об упаковке кругов Задача Таммеса (на сфере)
Сферическая упаковка	Аполлонический Конечный В сфере В кубе В цилиндре Плотная упаковка Поцелуйный номер Связанная сферическая упаковка (Хемминга)
Другая 2-D упаковка	Квадратная упаковка
Другая 3-D упаковка	Тетраэдр Эллипсоид
Пазлы	Конвей Слотаубер – Граатсма