Упаковка тетраэдра
В геометрии — это упаковка тетраэдров проблема расположения одинаковых правильных тетраэдров в трехмерном пространстве так, чтобы заполнить максимально возможную часть пространства.
В настоящее время наилучшая нижняя граница оптимальной доли упаковки правильных тетраэдров составляет 85,63%. [1] Тетраэдры не замостили пространство, [2] и верхняя граница ниже 100% (а именно 1 − (2,6...) · 10 −25 ) сообщалось. [3]
Исторические результаты
[ редактировать ]
Аристотель утверждал, что тетраэдры могут полностью заполнить пространство. [4] [5]
В 2006 году Конвей и Торквато показали, что доля упаковки около 72% может быть получена путем построения решетчатой упаковки тетраэдров, отличной от Бравэ (с множеством частиц с, как правило, разной ориентацией на повторяющуюся единицу), и, таким образом, они показали, что лучшая упаковка тетраэдров не может быть решетчатой упаковкой (с одной частицей на повторяющуюся единицу, так что каждая частица имеет общую ориентацию). [6] Эти конструкции упаковки почти вдвое увеличили оптимальную долю упаковки решетки Браве (36,73%), полученную Хойлманом. [7] В 2007 и 2010 годах Чайкин и его коллеги экспериментально показали, что игральные кости, похожие на тетраэдр, могут случайным образом упаковываться в ограниченный контейнер с долей упаковки от 75% до 76%. [8] В 2008 году Чен был первым, кто предложил упаковку твердых правильных тетраэдров, которые упакованы более плотно, чем сферы, численно продемонстрировав долю упаковки 77,86%. [9] [10] Дальнейшее улучшение было сделано в 2009 году Торквато и Цзяо, которые сжали структуру Чена с помощью компьютерного алгоритма до степени упаковки 78,2021%. [11]
В середине 2009 г. Хаджи-Акбари и др. показали с помощью MC- моделирования изначально случайных систем , что при плотностях упаковки > 50% равновесная жидкость твердых тетраэдров спонтанно превращается в додекагональный квазикристалл , который может быть сжат до 83,24%. Они также сообщили о стеклообразной неупорядоченной упаковке при плотности, превышающей 78%. Для периодического аппроксиманта квазикристалла с элементарной ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03%. [12]
В конце 2009 года Каллус, Эльзер и Гравель открыли новое, гораздо более простое семейство насадок с долей упаковки 85,47%. [13] Эти насадки также легли в основу несколько улучшенной насадки, полученной Торквато и Цзяо в конце 2009 года с долей насадки 85,55%. [14] и Чена, Энгеля и Глотцера в начале 2010 года с долей упаковки 85,63%. [1] Результат Чена, Энгеля и Глотцера в настоящее время представляет собой самую плотную из известных упаковок твердых правильных тетраэдров. Удивительно, но квадратно-треугольная плитка [12] пакеты более плотные, чем эта двойная решетка треугольных бипирамид , когда тетраэдры слегка закруглены ( сумма Минковского тетраэдра и сферы), что делает кристалл 82-тетраэдра крупнейшей элементарной ячейкой для самой плотной упаковки идентичных частиц на сегодняшний день. [15]
Связь с другими проблемами упаковки
[ редактировать ]Поскольку самая ранняя нижняя граница, известная для упаковок тетраэдров, была меньше, чем у сфер , было высказано предположение, что правильные тетраэдры могут быть контрпримером к гипотезе Улама о том, что оптимальная плотность для упаковки конгруэнтных сфер меньше, чем для любого другого выпуклого тела. Однако более поздние результаты показали, что это не так.
См. также
[ редактировать ]- Проблема с упаковкой
- Дисфеноидные тетраэдрические соты - изоэдральная упаковка неправильных тетраэдров в трехмерном пространстве.
- Триакис -усеченные тетраэдрические соты являются клеточно-транзитивными и основаны на правильном тетраэдре.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Чен, Элизабет Р.; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2010). «Плотные кристаллические димерные упаковки правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 253–280. arXiv : 1001.0586 . дои : 10.1007/s00454-010-9273-0 . S2CID 18523116 .
- ^ Струик, диджей (1925). «Проблема «De Impletione Loci» ». Новый архив по математике . 2-й сер. 15 : 121–134. ЖФМ 52.0002.04 .
- ^ Саймон Гравий; Вейт Эльзер; Йоав Каллус (2010). «Верхняя граница плотности упаковки правильных тетраэдров и октаэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 46 (4): 799–818. arXiv : 1008.2830 . дои : 10.1007/s00454-010-9304-x . S2CID 18908213 .
- ^ Джеффри Лагариас и Чуанмин Цзун (4 декабря 2012 г.). «Тайны упаковки правильных тетраэдров» (PDF) .
- ^ Пресс-релиз (03.12.2014). «Джеффри Лагариас и Чуанмин Цзун получат премию Конанта 2015» .
- ^ Конвей, Дж. Х. (2006). «Упаковка, замощение и покрытие тетраэдрами» . Труды Национальной академии наук . 103 (28): 10612–10617. Бибкод : 2006PNAS..10310612C . дои : 10.1073/pnas.0601389103 . ПМК 1502280 . ПМИД 16818891 .
- ^ Хойлман, Дуглас Дж. (1970). «Самая плотная решетчатая упаковка тетраэдров» . Бюллетень Американского математического общества . 76 : 135–138. дои : 10.1090/S0002-9904-1970-12400-4 . HDL : 10150/288016 .
- ^ Джаошвили, Александр; Эсакия, Андрия; Поррати, Массимо; Чайкин, Пол М. (2010). «Опыты по случайной упаковке тетраэдрических игральных костей» . Письма о физических отзывах . 104 (18): 185501. Бибкод : 2010PhRvL.104r5501J . doi : 10.1103/PhysRevLett.104.185501 . hdl : 10919/24495 . ПМИД 20482187 .
- ^ Чен, Элизабет Р. (2008). «Плотная упаковка правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 40 (2): 214–240. arXiv : 0908.1884 . дои : 10.1007/s00454-008-9101-y . S2CID 32166668 .
- ^ Кон, Генри (2009). «Математическая физика: жесткое сжатие». Природа . 460 (7257): 801–802. Бибкод : 2009Natur.460..801C . дои : 10.1038/460801a . ПМИД 19675632 . S2CID 5157975 .
- ^ Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа . 460 (7257): 876–879. arXiv : 0908.4107 . Бибкод : 2009Natur.460..876T . дои : 10.1038/nature08239 . ПМИД 19675649 . S2CID 52819935 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хаджи-Акбари, Амир; Энгель, Майкл; Киз, Аарон С.; Чжэн, Сяоюй; Петчек, Рольф Г.; Палффи-Мухорай, Питер; Глотцер, Шэрон К. (2009). «Неупорядоченные, квазикристаллические и кристаллические фазы плотноупакованных тетраэдров». Природа . 462 (7274): 773–777. arXiv : 1012.5138 . Бибкод : 2009Natur.462..773H . дои : 10.1038/nature08641 . ПМИД 20010683 . S2CID 4412674 .
- ^ Каллус, Йоав; Эльзер, Вейт; Гравий, Саймон (2010). «Плотные периодические упаковки тетраэдров с мелкими повторяющимися единицами». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 245–252. arXiv : 0910.5226 . дои : 10.1007/s00454-010-9254-3 . S2CID 13385357 .
- ^ Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009). «Аналитические конструкции семейства плотных упаковок тетраэдров и роль симметрии». arXiv : 0912.4210 [ cond-mat.stat-mech ].
- ^ Джин, Вэйвэй; Лу, Пэн; Ли, Шуйсян (декабрь 2015 г.). «Эволюция плотных упаковок сферотетраэдрических частиц: от идеальных тетраэдров к сферам» . Научные отчеты . 5 (1): 15640. Бибкод : 2015NatSR...515640J . дои : 10.1038/srep15640 . ПМЦ 4614866 . ПМИД 26490670 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Упаковка тетраэдров и достижение идеального соответствия , NYTimes
- Эффективные формы , The Economist
- Пирамиды — лучшая форма для упаковки , New Scientist