Двойная решетка
В математике , особенно в геометрии , двойная решетка в ℝ н — дискретная подгруппа группы евклидовых движений , состоящая только из сдвигов и точечных отражений и такая, что подгруппа сдвигов представляет собой решетку . Орбита любой точки под действием двойной решетки представляет собой объединение двух решеток Браве , связанных друг с другом точечным отражением. Двойная решетка в двух измерениях — это p2 группа обоев . В трех измерениях двойная решетка представляет собой пространственную группу типа 1 , как это обозначается международным обозначением .
Двойная решетчатая упаковка
[ редактировать ]
Упаковка, которую можно описать как орбиту тела под действием двойной решетки, называется двойной решетчатой упаковкой. Во многих случаях наибольшая известная плотность упаковки тела достигается за счет двойной решетки. Примеры включают правильный пятиугольник , семиугольник и девятиугольник. [1] и равносторонняя треугольная бипирамида . [2] Влодзимеж Куперберг и Грег Куперберг показали, что все выпуклые плоские тела могут упаковываться с плотностью не менее √ 3/2 , используя двойную решетку. [3]
В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлс и Веден Куснер объявили о доказательстве того, что двойная решетчатая упаковка правильного пятиугольника имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. [4] Эта упаковка использовалась в качестве декоративного рисунка в Китае по крайней мере с 1900 года, и в этом контексте ее назвали «пятиугольным ледяным лучом». [5] По состоянию на 2021 год [update], доказательство ее оптимальности еще не рецензировалось и не публиковалось.
Было высказано предположение, что среди всех выпуклых форм правильный семиугольник имеет наименьшую плотность упаковки для своей оптимальной двойной решетчатой упаковки, но это остается недоказанным. [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ де Грааф, Йост; ван Рой, Рене; Дейкстра, Маржолейн (2011), «Плотные регулярные упаковки нерегулярных невыпуклых частиц», Physical Review Letters , 107 (15): 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , doi : 10.1103/PhysRevLett.107.155 501 , ПМИД 22107298
- ^ Хаджи-Акбари, Амир; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2011), «Вырожденный квазикристалл жестких треугольных бипирамид», Phys. Преподобный Летт. , 107 (21): 215702, arXiv : 1106.5561 , Bibcode : 2011PhRvL.107u5702H , doi : 10.1103/PhysRevLett.107.215702 , PMID 22181897
- ^ Куперберг, Г .; Куперберг, В. (1990), «Двухрешетчатые упаковки выпуклых тел на плоскости», Дискретная и вычислительная геометрия , 5 (4): 389–397, doi : 10.1007/BF02187800 , MR 1043721
- ^ Хейлз, Томас ; Куснер, Веден (сентябрь 2016 г.), Упаковки правильных пятиугольников на плоскости , arXiv : 1602.07220
- ^ Дай, Дэниел Шитс (2012), Chinese Lattice Designs , Дувр, стр. 307–309, ISBN 9780486146225
- ^ Каллус, Йоав (2015), «Пессимальные формы упаковки», Геометрия и топология , 19 (1): 343–363, arXiv : 1305.0289 , doi : 10.2140/gt.2015.19.343 , MR 3318753