Упаковка круга в квадрат
Упаковка кругов в квадрат — это задача упаковки в развлекательной математике , цель которой — упаковать n единичных кругов в наименьший возможный квадрат . Эквивалентно, проблема состоит в том, чтобы расположить n точек в единичном квадрате, стремясь получить наибольшее минимальное расстояние d n между точками. [1] Для преобразования между этими двумя формулировками задачи квадратная сторона единичного круга будет равна L = 2 + 2 / d n .
Решения
[ редактировать ]Решения (не обязательно оптимальные) были вычислены для каждого N ≤ 10 000 . [2] Решения до N = 20 показаны ниже. [2] Очевидная квадратная упаковка оптимальна для 1, 4, 9, 16, 25 и 36 кругов (шести наименьших квадратных чисел ), но перестает быть оптимальной для больших квадратов, начиная с 49. [2]
Количество кругов ( n ) | Длина стороны квадрата ( L ) | д н [1] | Плотность номера ( н / л 2 ) | Фигура |
---|---|---|---|---|
1 | 2 | ∞ | 0.25 | |
2 | ≈ 3.414... | ≈ 1.414... | 0.172... | ![]() |
3 | ≈ 3.931... | ≈ 1.035... | 0.194... | ![]() |
4 | 4 | 1 | 0.25 | ![]() |
5 | ≈ 4.828... | ≈ 0.707... | 0.215... | ![]() |
6 | ≈ 5.328... | ≈ 0.601... | 0.211... | ![]() |
7 | ≈ 5.732... | ≈ 0.536... | 0.213... | ![]() |
8 | ≈ 5.863... | ≈ 0.518... | 0.233... | ![]() |
9 | 6 | 0.5 | 0.25 | ![]() |
10 | 6.747... | 0,421... ОЭИС : A281065 | 0.220... | ![]() |
11 | ≈ 7.022... | 0.398... | 0.223... | ![]() |
12 | ≈ 7.144... | ≈ 0.389... | 0.235... | ![]() |
13 | 7.463... | 0.366... | 0.233... | ![]() |
14 | ≈ 7.732... | ≈ 0.349... | 0.226... | ![]() |
15 | ≈ 7.863... | ≈ 0.341... | 0.243... | ![]() |
16 | 8 | 0.333... | 0.25 | ![]() |
17 | 8.532... | 0.306... | 0.234... | ![]() |
18 | ≈ 8.656... | ≈ 0.300... | 0.240... | ![]() |
19 | 8.907... | 0.290... | 0.240... | ![]() |
20 | ≈ 8.978... | ≈ 0.287... | 0.248... | ![]() |
Упаковка круга в прямоугольник
[ редактировать ]Плотные упаковки кругов в неквадратных прямоугольниках также были предметом исследований. [3] [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Крофт, Халлард Т.; Фальконер, Кеннет Дж.; Гай, Ричард К. (1991). Нерешенные задачи геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 108–110 . ISBN 0-387-97506-3 .
- ^ Jump up to: а б с Экард Шпехт (20 мая 2010 г.). «Самые известные упаковки равных кругов в квадрате» . Проверено 25 мая 2010 г.
- ^ Любачевский Борис Дмитриевич; Грэм, Рональд Л. (2009). «Прямоугольники с минимальным периметром, заключающие в себе равные непересекающиеся круги» . Дискретная математика . 309 (8). Эльзевир Б.В.: 1947–1962. arXiv : math/0412443 . дои : 10.1016/j.disc.2008.03.017 . ISSN 0012-365X . S2CID 783236 .
- ^ Шпехт, Э. (2013). «Упаковки высокой плотности равных кругов в прямоугольниках с переменным соотношением сторон». Компьютеры и исследования операций . 40 (1). Эльзевир Б.В.: 58–69. дои : 10.1016/j.cor.2012.05.011 . ISSN 0305-0548 .