Гипотеза упаковки Улама
Гипотеза упаковки Улама , названная в честь Станислава Улама , представляет собой гипотезу о максимально возможной плотности упаковки одинаковых выпуклых тел в трехмерном евклидовом пространстве . Гипотеза гласит, что оптимальная плотность упаковки равных сфер меньше, чем плотность любого другого выпуклого тела. То есть, согласно гипотезе, шар представляет собой выпуклое твердое тело, которое заставляет наибольшую часть пространства оставаться пустой в своей оптимальной структуре упаковки. Таким образом, эта гипотеза связана с гипотезой Кеплера об упаковке сфер . Поскольку решение гипотезы Кеплера устанавливает, что одинаковые шары должны оставлять пустым ≈25,95% пространства, гипотеза Улама эквивалентна утверждению, что никакое другое выпуклое твердое тело не заставляет так много места оставаться пустым.
Источник
[ редактировать ]Эту гипотезу посмертно приписал Уламу Мартин Гарднер , который в постскриптуме, добавленном к одной из его колонок в журнале «Математические игры» , отмечает , что Улам сообщил ему об этой гипотезе в 1972 году. [ 1 ] Хотя в первоначальной ссылке на гипотезу говорится только о том, что Улам «подозревал», что мяч является наихудшим случаем для упаковки, впоследствии это утверждение было воспринято как гипотеза.
Поддерживающие аргументы
[ редактировать ]Численные эксперименты с большим разнообразием выпуклых тел в каждом случае привели к созданию упаковок, которые оставляют меньше пустого пространства, чем остается при плотной упаковке равных сфер , и поэтому многие твердые тела были исключены как контрпримеры гипотезы Улама. [ 2 ] Тем не менее, существует бесконечное пространство возможных форм, которые не исключены.
Йоав Каллус показал, что, по крайней мере, среди точечно-симметричных тел, шар представляет собой локальный максимум доли вынужденного пустого пространства. [ 3 ] То есть любое точечно-симметричное тело, не слишком сильно отклоняющееся от шара, можно упаковать с большей эффективностью, чем шары.
Аналоги в других измерениях
[ редактировать ]Аналог гипотезы Улама об упаковке в двух измерениях сказал бы, что никакая выпуклая форма не заставляет более ≈9,31% плоскости оставаться непокрытой, поскольку именно эта доля пустого пространства остается непокрытой в самой плотной упаковке дисков . Однако правильный восьмиугольник и сглаженный восьмиугольник дают противоположные примеры. Предполагается, что правильные семиугольники заставляют большую часть плоскости оставаться непокрытой. [ 4 ] В размерностях выше четырех (исключая 8 и 24) ситуация осложняется тем, что аналоги гипотезы Кеплера остаются открытыми.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гарднер, Мартин (1995), Новые математические развлечения (пересмотренное издание) , Вашингтон: Математическая ассоциация Америки, стр. 251
- ^ граф Йост; ван Рой, Рене; Дейкстра, Марджолейн (2011), «Плотные регулярные упаковки неправильных невыпуклых частиц», Physical Review Letters , 107 (15): 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.1050 , doi 550:D . 10.1103/PhysRevLett.107.155501 , PMID 22107298 .
- ^ Каллус, Йоав (2014), «3-шар — локальный пессимум для упаковки», Advances in Mathematics , 264 : 355–370, arXiv : 1212.2551 , doi : 10.1016/j.aim.2014.07.015 , MR 3250288 .
- ^ Каллус, Йоав (2015), «Пессимальные формы упаковки», Geometry & Topology , 19 : 343–363, arXiv : 1305.0289 , doi : 10.2140/gt.2015.19.343 , MR 3318753 .