Сглаженный восьмиугольник

Семейство максимально плотных упаковок сглаженного восьмиугольника.

Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, обнаруженная Карлом Рейнхардтом имеющая наименьшую максимальную плотность упаковки плоскости в 1934 году и по его предположению , среди всех центрально-симметричных выпуклых форм. ^[1] Он также был независимо открыт Куртом Малером в 1947 году. ^[2] Он строится путем замены углов правильного восьмиугольника сечением гиперболы , касательным к двум сторонам, прилегающим к углу, и асимптотическим к сторонам, прилегающим к ним.

Строительство

Углы сглаженного восьмиугольника можно найти, вращая три правильных восьмиугольника, центры которых образуют треугольник различной формы, но постоянной площади.

Гипербола, образующая каждый угол сглаженного восьмиугольника, касается двух сторон правильного восьмиугольника и асимптотична двум смежным с ними сторонам. ^[3] Следующие сведения относятся к правильному восьмиугольнику описанного радиуса. ${\sqrt {2}}$ с центром в точке $(2+{\sqrt {2}},0)$ и одна вершина в точке $(2,0)$ . Для двух констант $\ell ={\sqrt {2}}-1$ и $m=(1/2)^{1/4}$ , гипербола задается уравнением $\ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}$ или эквивалентная параметризация (только для правой ветви) ${\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}$

для части гиперболы, образующей угол, заданной диапазоном значений параметра $-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.$

Линии восьмиугольника, касающиеся гиперболы, равны $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ,а линии, асимптотические гиперболе, просто $y=\pm \ell x$ .

Упаковка

Для каждого центрально-симметричного выпуклого плоского множества, включая сглаженный восьмиугольник, максимальная плотность упаковки достигается за счет решетчатой упаковки, в которой неповернутые копии формы передаются векторами решетки. ^[4] Сглаженный восьмиугольник достигает максимальной плотности упаковки не только для одной упаковки, но и для однопараметрического семейства. Все это решетчатые упаковки. ^[5]Сглаженный восьмиугольник имеет максимальную плотность упаковки, определяемую выражением ^[2]^[3] ${\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.$

Это ниже максимальной плотности упаковки кругов , которая составляет ^[3] ${\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.$

Максимальная известная плотность упаковки обычного правильного восьмиугольника равна ${\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,$ также немного меньше максимальной плотности упаковки кругов, но выше, чем у сглаженного восьмиугольника. ^[6]

Нерешенная задача по математике :

Является ли сглаженный восьмиугольник центрально-симметричной выпуклой формой с наименьшей максимальной плотностью упаковки?

(еще нерешенные задачи по математике)

Гипотеза Рейнхардта о том, что сглаженный восьмиугольник имеет наименьшую максимальную плотность упаковки среди всех центрально-симметричных выпуклых форм на плоскости, остается нерешенной. Однако Томас Хейлз и Каундинья Ваджха заявили, что доказали более слабую гипотезу, которая утверждает, что наиболее неупаковываемый центрально-симметричный выпуклый диск должен быть сглаженным многоугольником. ^[7]^[8] Кроме того, Федор Назаров предоставил частичный результат, доказав, что сглаженный восьмиугольник является локальным минимумом плотности упаковки среди центрально-симметричных выпуклых форм. ^[9]

Если центральная симметрия не требуется, предполагается, что правильный семиугольник имеет еще меньшую плотность упаковки, но ни его плотность упаковки, ни его оптимальность не доказаны. В трех измерениях гипотеза Улама об упаковке утверждает, что ни одна выпуклая форма не имеет меньшей максимальной плотности упаковки, чем шар. ^[5]

Ссылки

^ Рейнхардт, Карл (1934). «О плотнейшем решетчатом хранении конгруэнтных областей на плоскости и особом виде выпуклых кривых». Деф. Гамбург . 10 :216-230. дои : 10.1007/BF02940676 . S2CID 120336230 .
^ Jump up to: ^а ^б Малер, Курт (1947). «О минимальном определителе и описанных шестиугольниках выпуклой области» (PDF) . Indagationes Mathematicae . 9 : 326–337. МР 0021017 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фейес Тот, Ласло ; Фейеш Тот, Габор; Куперберг, Влодзимеж (2023). Хранение: Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве . Фундаментальные основы математических наук. Том 360. Чам: Спрингер. п. 106 . дои : 10.1007/978-3-031-21800-2 . ISBN 978-3-031-21799-9 . МР 4628019 .
^ Фейес Тот, Ласло (1950). «Некоторые теоремы об упаковке и покрытии». Acta Universitatis Szegediensis . 12 : 62–67. МР 0038086 .
^ Jump up to: ^а ^б Каллус, Йоав (2015). «Пессимальные формы упаковки». Геометрия и топология . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . дои : 10.2140/gt.2015.19.343 . МР 3318753 .
^ Аткинсон, Стивен; Цзяо, Ян; Торквато, Сальваторе (10 сентября 2012 г.). «Максимально плотные упаковки двумерных выпуклых и вогнутых некруглых частиц». Физический обзор E . 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Бибкод : 2012PhRvE..86c1302A . дои : 10.1103/physreve.86.031302 . ПМИД 23030907 . S2CID 9806947 .
^ Хейлз, Томас; Ваджа, Кундинья (7 мая 2024 г.). «Упаковки сглаженных многоугольников». arXiv : 2405.04331 [ math.OC ].
^ Барбер, Грегори (28 июня 2024 г.). «Почему эту форму так ужасно упаковывать?» . Журнал Кванта . Проверено 28 июня 2024 г.
^ Nazarov, F. L. (1986). "On the Reinhardt problem of lattice packings of convex regions: Local extremality of the Reinhardt octagon". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) . 151 : 104–114, 197–198. doi : 10.1007/BF01727653 . MR 0849319 .

Внешние ссылки

Упаковка сглаженных восьмиугольников . Джон Баэз, Visual Insight, блоги AMS, 2014 г.
Самая тонкая и плотная двумерная упаковка? . Питер Шолль, 2001.

[reinhardt-1] Рейнхардт, Карл (1934). «О плотнейшем решетчатом хранении конгруэнтных областей на плоскости и особом виде выпуклых кривых». Деф. Гамбург . 10 :216-230. дои : 10.1007/BF02940676 . S2CID 120336230 .

[mahler-2] Jump up to: ^а ^б Малер, Курт (1947). «О минимальном определителе и описанных шестиугольниках выпуклой области» (PDF) . Indagationes Mathematicae . 9 : 326–337. МР 0021017 .

[lagerungen-3] Jump up to: ^а ^б ^с Фейес Тот, Ласло ; Фейеш Тот, Габор; Куперберг, Влодзимеж (2023). Хранение: Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве . Фундаментальные основы математических наук. Том 360. Чам: Спрингер. п. 106 . дои : 10.1007/978-3-031-21800-2 . ISBN 978-3-031-21799-9 . МР 4628019 .

[ft-packing-4] Фейес Тот, Ласло (1950). «Некоторые теоремы об упаковке и покрытии». Acta Universitatis Szegediensis . 12 : 62–67. МР 0038086 .

[kallus-pessimal-5] Jump up to: ^а ^б Каллус, Йоав (2015). «Пессимальные формы упаковки». Геометрия и топология . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . дои : 10.2140/gt.2015.19.343 . МР 3318753 .

[ajt-6] Аткинсон, Стивен; Цзяо, Ян; Торквато, Сальваторе (10 сентября 2012 г.). «Максимально плотные упаковки двумерных выпуклых и вогнутых некруглых частиц». Физический обзор E . 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Бибкод : 2012PhRvE..86c1302A . дои : 10.1103/physreve.86.031302 . ПМИД 23030907 . S2CID 9806947 .

[7] Хейлз, Томас; Ваджа, Кундинья (7 мая 2024 г.). «Упаковки сглаженных многоугольников». arXiv : 2405.04331 [ math.OC ].

[8] Барбер, Грегори (28 июня 2024 г.). «Почему эту форму так ужасно упаковывать?» . Журнал Кванта . Проверено 28 июня 2024 г.

[nazarov-9] Nazarov, F. L. (1986). "On the Reinhardt problem of lattice packings of convex regions: Local extremality of the Reinhardt octagon". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) . 151 : 104–114, 197–198. doi : 10.1007/BF01727653 . MR 0849319 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]