Квадратично замкнутое поле

В математике — квадратично замкнутое поле это поле с характеристикой , не равной 2, в котором каждый элемент имеет квадратный корень .

Примеры

• Поле комплексных чисел квадратично замкнуто; в более общем смысле любое алгебраически замкнутое поле квадратично замкнуто.
• Поле действительных чисел не является квадратично замкнутым, поскольку не содержит квадратного корня из −1.
• Объединение конечных полей $\mathbb {F} _{5^{2^{n}}}$ при n ≥ 0 квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто.
• Поле конструктивных чисел квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто.

Характеристики

• Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет универсальный инвариант, равный 1.
• Каждое квадратично замкнутое поле является пифагоровым полем , но не наоборот (например, R является пифагоровым); однако любое неформально вещественное поле Пифагора квадратично замкнуто.
• Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда его при отображении кольцо Витта–Гротендика изоморфно размерности Z .
• Формально вещественное евклидово поле E не является квадратично замкнутым (поскольку −1 не является квадратом в E ), но квадратичное расширение E ( √ −1 ) квадратично замкнуто.
• Пусть E / F — конечное расширение , где E квадратично замкнуто. Либо −1 является квадратом в F и F квадратично замкнутым, либо −1 не является квадратом в F и F евклидово. Эту «теорему о понижении» можно вывести из теоремы Диллера – Дресса .

Квадратичное замыкание

Квадратичное замыкание поля F — это квадратично замкнутое поле, содержащее F , которое вкладывается в любое квадратично замкнутое поле, содержащее F . Квадратичное замыкание для любого данного F может быть построено как подполе алгебраического замыкания F ^Алг F F всех итерированных квадратичных расширений F в как объединение ^Алг .

Примеры

• Квадратичным замыканием R является C .
• Квадратичное замыкание $\mathbb {F} _{5}$ это союз $\mathbb {F} _{5^{2^{n}}}$.
• Квадратичное замыкание Q — это поле комплексных конструктивных чисел .

Ссылки

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-42668-5 . Збл   0785.11022 .