Квадратично замкнутое поле
В математике — квадратично замкнутое поле это поле с характеристикой , не равной 2, в котором каждый элемент имеет квадратный корень . [1] [2]
Примеры
[ редактировать ]- Поле комплексных чисел квадратично замкнуто; в более общем смысле любое алгебраически замкнутое поле квадратично замкнуто.
- Поле действительных чисел не является квадратично замкнутым, поскольку не содержит квадратного корня из −1.
- Объединение конечных полей при n ≥ 0 квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто. [3]
- Поле конструктивных чисел квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто. [4]
Характеристики
[ редактировать ]- Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет универсальный инвариант, равный 1.
- Каждое квадратично замкнутое поле является пифагоровым полем , но не наоборот (например, R является пифагоровым); однако любое неформально вещественное поле Пифагора квадратично замкнуто. [2]
- Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда его при отображении кольцо Витта–Гротендика изоморфно размерности Z . [3]
- Формально вещественное евклидово поле E не является квадратично замкнутым (поскольку −1 не является квадратом в E ), но квадратичное расширение E ( √ −1 ) квадратично замкнуто. [4]
- Пусть E / F — конечное расширение , где E квадратично замкнуто. Либо −1 является квадратом в F и F квадратично замкнутым, либо −1 не является квадратом в F и F евклидово. Эту «теорему о понижении» можно вывести из теоремы Диллера – Дресса . [5]
Квадратичное замыкание
[ редактировать ]Квадратичное замыкание поля F — это квадратично замкнутое поле, содержащее F , которое вкладывается в любое квадратично замкнутое поле, содержащее F . Квадратичное замыкание для любого данного F можно построить как подполе алгебраического замыкания F Алг F F всех итерированных квадратичных расширений F в как объединение Алг . [4]
Примеры
[ редактировать ]- Квадратичным замыканием R является C . [4]
- Квадратичное замыкание это союз . [4]
- Квадратичное замыкание Q — это поле комплексных конструктивных чисел .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лам (2005) с. 33
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Раджваде (1993), с. 230
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лам (2005) с. 34
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Лам (2005) с. 220
- ^ Лам (2005) стр.270
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
- Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .