Экспоненциальный полином

Эта статья о полиномах от переменных и показательных функциях. Чтобы узнать о полиномах, включающих числа Стирлинга, см. Полиномы Тушара .

В математике экспоненциальные многочлены — это функции на полях , кольцах или абелевых группах , которые принимают форму многочленов от переменной и показательной функции .

Определение

В полях

Экспоненциальный полином обычно имеет как переменную x , так и некоторую показательную функцию E ( x ). В комплексных числах уже есть каноническая показательная функция, функция, которая отображает x в e. ^Икс . В этом случае термин «экспоненциальный полином» часто используется для обозначения полиномов формы P ( x , e ^Икс ), где P ∈ C [ x , y ] — многочлен от двух переменных.

Здесь нет ничего особенного в C ; экспоненциальные многочлены могут также относиться к такому многочлену в любом экспоненциальном поле или экспоненциальном кольце, где его показательная функция заменяет e ^Икс выше. Точно так же нет смысла иметь одну переменную, и экспоненциальный полином от n переменных будет иметь форму P ( x ₁ , ..., x _n , e ^{х ₁} , ..., Это ^{х _н} ), где P — полином от 2 n переменных.

Для формальных экспоненциальных полиномов над полем K поступим следующим образом. Пусть W — конечно порожденный Z - подмодуль модуля K и рассмотрим конечные суммы вида

$\sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,$

где f _i являются полиномами в K [ X ], а exp( w _i   X ) являются формальными символами, индексированными w _i в W, при условии, что exp ( u + v ) = exp ( u ) exp ( v ).

В абелевых группах

Более общая структура, в которой можно найти термин «экспоненциальный полином», - это экспоненциальные функции на абелевых группах. как определяются экспоненциальные функции на экспоненциальных полях, для данной топологической абелевой группы G гомоморфизм Подобно тому , из G в аддитивную группу комплексных чисел называется аддитивной функцией, а гомоморфизм в мультипликативную группу ненулевых комплексных чисел называется экспоненциальной функцией. функция или просто экспонента. Произведение аддитивных функций и экспонент называется экспоненциальным мономом, а их линейная комбинация тогда является экспоненциальным полиномом на G .

Свойства

Теорема Ритта утверждает, что аналоги однозначной факторизации и факторной теоремы справедливы для кольца экспоненциальных многочленов.

Приложения

Экспоненциальные полиномы от R и C часто появляются в трансцендентной теории чисел , где они появляются как вспомогательные функции в доказательствах, включающих показательную функцию. Они также действуют как связующее звено между теорией моделей и аналитической геометрией . Если кто-то определяет экспоненциальное многообразие как множество точек в R ^н где некоторый конечный набор экспоненциальных многочленов обращается в нуль, то такие результаты, как теорема Хованского в дифференциальной геометрии и теорема Уилки в теории моделей, показывают, что эти многообразия хорошо себя ведут в том смысле, что набор таких многообразий устойчив относительно различных теоретико-множественных операций, таких как до тех пор, пока разрешено включение изображения в проекции экспоненциальных многообразий более высокой размерности. Действительно, из двух вышеупомянутых теорем следует, что множество всех экспоненциальных многообразий образует o-минимальную структуру над R .

Экспоненциальные полиномы появляются в характеристическом уравнении, связанном с линейными дифференциальными уравнениями с запаздыванием .