Линейное течение на торе

В математике , особенно в области математического анализа , известной как теория динамических систем , линейный поток на торе — это поток на n -мерном торе. $\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ которое представляется следующими дифференциальными уравнениями относительно стандартных угловых координат $\left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):$ ${\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.$

Решение этих уравнений можно явно выразить как $\Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .$

Если представить тор как $\mathbb {T^{n}} =\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ мы видим, что начальная точка перемещается потоком в направлении $\omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)$ с постоянной скоростью и при достижении границы унитарного $n$ -cube он перепрыгивает на противоположную грань куба.

Для линейного потока на торе либо все орбиты периодические , либо все орбиты плотны на подмножестве $n$ -тор, который представляет собой $k$ -тор. Когда компоненты $\omega$ все рационально независимы, орбиты плотны на всем пространстве. Это легко увидеть в двумерном случае: если две компоненты $\omega$ рационально независимы, то сечение Пуанкаре потока на ребре единичного квадрата представляет собой иррациональное вращение на окружности и, следовательно, его орбиты плотны на окружности, как следствие, орбиты потока должны быть плотными на торе.

Иррациональная обмотка тора

В топологии иррациональная обмотка тора — это непрерывная инъекция линии , в двумерный тор которая используется для установления нескольких контрпримеров. ^[1] Родственное понятие - это слоение Кронекера тора, слоение, образованное набором всех трансляций данной иррациональной обмотки.

Определение

Один из способов построения тора - это факторпространство $\mathbb {T^{2}} =\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ двумерного вещественного векторного пространства аддитивной подгруппой целочисленных векторов с соответствующей проекцией $\pi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {T^{2}} .$ Каждая точка тора имеет в качестве прообраза один из сдвигов квадратной решетки. $\mathbb {Z} ^{2}$ в $\mathbb {R} ^{2},$ и $\pi$ факторы с помощью карты, которая переводит любую точку плоскости в точку единичного квадрата $[0,1)^{2}$ задается дробными частями декартовых координат исходной точки. Теперь рассмотрим строку в $\mathbb {R} ^{2}$ заданное уравнением $y=kx.$ Если наклон $k$ прямая рациональна , то ее можно представить дробью и соответствующей точкой решетки $\mathbb {Z} ^{2}.$ Можно показать, что тогда проекция этой прямой представляет собой простую замкнутую кривую на тор. Если, однако, $k$ иррациональна , то она не будет пересекать никакие точки решетки , кроме 0, а значит, ее проекция на тор не будет замкнутой кривой, и ограничение $\pi$ в этой строке инъективен . Более того, можно показать, что образ этой ограниченной проекции как подпространства, называемый иррациональной обмоткой тора, плотен в торе.

Приложения

Иррациональные обмотки тора можно использовать для установления контрпримеров, связанных с мономорфизмами . Иррациональная обмотка — это погруженное подмногообразие , но не регулярное подмногообразие тора, что показывает, что образ многообразия при непрерывной инъекции в другое многообразие не обязательно является (регулярным) подмногообразием. ^[2] Иррациональные обмотки также являются примерами того, что топология подмногообразия не обязательно должна совпадать с топологией подпространства подмногообразия. ^[2]

Во-вторых, тор можно рассматривать как группу Ли. $U(1)\times U(1)$ , а линию можно рассматривать как $\mathbb {R}$ . Тогда легко показать, что образ непрерывного и аналитического гомоморфизма групп $x\mapsto \left(e^{ix},e^{ikx}\right)$ не является регулярным подмногообразием для иррациональных $k,$ ^[2]^[3] хотя это погруженное подмногообразие и, следовательно, подгруппа Ли. Его также можно использовать, чтобы показать, что если подгруппа $H$ группы Лия $G$ не замкнуто, частное $G/H$ не обязательно должен быть многообразием ^[4] и может даже не быть пространством Хаусдорфа .

См. также

Полностью интегрируемая система — свойство некоторых динамических систем.
Эргодическая теория - раздел математики, изучающий динамические системы.
Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
Квазипериодическое движение - тип хаотического движения.
Торический узел - Узел, лежащий на поверхности тора в трехмерном пространстве.

Примечания

^ a: Как топологическое подпространство тора, иррациональная обмотка не является многообразием , поскольку она не локально гомеоморфна вообще $\mathbb {R}$ .

Ссылки

^ Д. П. Желобенко (январь 1973 г.). Компактные группы Ли и их представления . ISBN 9780821886649 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лоринг В. Ту (2010). Введение в многообразия . Спрингер. стр. 168 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .
^ Чап, Андреас ; Словак, Ян (2009), Параболическая геометрия: предыстория и общая теория , AMS, с. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2
^ Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 146, ISBN 0-387-94732-9

Библиография

Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5 .

[1] Д. П. Желобенко (январь 1973 г.). Компактные группы Ли и их представления . ISBN 9780821886649 .

[Tu-2] Jump up to: ^а ^б ^с Лоринг В. Ту (2010). Введение в многообразия . Спрингер. стр. 168 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .

[3] Чап, Андреас ; Словак, Ян (2009), Параболическая геометрия: предыстория и общая теория , AMS, с. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2

[4] Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 146, ISBN 0-387-94732-9

[1]

[2]

[3]

[4]