Идеальный многогранник

Идеальный правильный октаэдр в шаровой модели Пуанкаре гиперболического пространства (сфера на бесконечности не показана). Все двугранные углы этой фигуры являются прямыми .

Анимация идеального икосаэдра в модели Клейна гиперболического пространства

В трехмерной гиперболической геометрии идеальный многогранник — это выпуклый многогранник , все вершины которого являются идеальными точками , точками «на бесконечности», а не внутри трехмерного гиперболического пространства . Его можно определить как выпуклую оболочку конечного набора идеальных точек. Идеальный многогранник имеет в качестве граней идеальные многоугольники , пересекающиеся по линиям гиперболического пространства.

У Платоновых тел и Архимедовых тел есть идеальные версии с той же комбинаторной структурой, что и у их более знакомых евклидовых версий. Несколько однородных гиперболических сот делят гиперболическое пространство на ячейки этих форм, подобно знакомому делению евклидова пространства на кубы. Однако не все многогранники можно представить как идеальные многогранники — многогранник может быть идеальным только тогда, когда его можно представить в евклидовой геометрии со всеми своими вершинами на описанной сфере . Используя линейное программирование , можно за полиномиальное время проверить, имеет ли данный многогранник идеальную версию .

Каждые два идеальных многогранника с одинаковым количеством вершин имеют одинаковую площадь поверхности, и вычислить объем идеального многогранника можно с помощью функции Лобачевского . Поверхность идеального многогранника образует гиперболическое многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере, и каждое такое многообразие образует поверхность единственного идеального многогранника.

Примеры и контрпримеры

Идеальный многогранник можно построить как выпуклую оболочку конечного набора идеальных точек гиперболического пространства, если не все точки лежат в одной плоскости. Полученная форма представляет собой пересечение всех замкнутых полупространств , имеющих заданные идеальные точки в качестве предельных точек. Альтернативно, любой евклидов выпуклый многогранник, имеющий описанную сферу, можно переинтерпретировать как идеальный многогранник, интерпретируя внутреннюю часть сферы как модель Клейна для гиперболического пространства. В модели Клейна каждый евклидов многогранник, заключенный в сферу, представляет собой гиперболический многогранник, а каждый евклидов многогранник с вершинами на сфере представляет собой идеальный гиперболический многогранник.

Каждый изогональный выпуклый многогранник (один с симметрией, переносящей каждую вершину в любую другую вершину) может быть представлен как идеальный многогранник таким образом, чтобы соблюдать его симметрию, поскольку он имеет описанную сферу с центром в центре симметрии многогранника. В частности, это означает, что все Платоновы тела и Архимедовы тела имеют идеальные формы. Однако другой высокосимметричный класс многогранников — каталонские тела — не все имеют идеальные формы. Каталонские тела представляют собой двойственные многогранники по отношению к архимедовым телам и обладают симметрией, переводящей любую грань в любую другую грань. К каталонским телам, которые не могут быть идеальными, относятся ромбдодекаэдр и триакис-тетраэдр .

Удаление определенных троек вершин из триакиса тетраэдра разделяет оставшиеся вершины на несколько компонентов связности. Когда такого разделения на три вершины не существует, многогранник называется 4-связным . Каждый 4-связный многогранник имеет представление идеального многогранника; например, это верно для тетракис-гексаэдра , еще одного каталонского твердого тела.

Усечение одной вершины куба дает простой многогранник (один с тремя ребрами на вершину), который не может быть реализован как идеальный многогранник: по теореме Микеля о шести кругах , если семь из восьми вершин куба идеальны, восьмая вершина равна также идеально, и поэтому вершины, созданные в результате его усечения, не могут быть идеальными. Существуют также многогранники с четырьмя ребрами в каждой вершине, которые невозможно реализовать как идеальные многогранники. Если симплициальный многогранник (тот, у которого все грани — треугольники) имеет все степени вершин от четырех до шести (включительно), то он имеет идеальное представление, но триакис тетраэдр является симплициальным и неидеальным, а 4-правильный неидеальный пример выше показывает, что для несимплициальных многогранников наличие всех степеней в этом диапазоне не гарантирует идеальную реализацию.

Свойства

Измерения

Каждый идеальный многогранник с $n$ вершины имеют поверхность, которую можно разделить на $2n-4$ идеальные треугольники , каждый с площадью $\pi$. Следовательно, площадь поверхности равна точно $(2n-4)\pi$.

В идеальном многограннике все грани и все телесные углы при вершинах равны нулю. Однако двугранные углы на рёбрах идеального многогранника отличны от нуля. В каждой вершине сумма дополнительных углов двугранных углов, инцидентных этой вершине, равна точно $2\pi$. Этот факт можно использовать для вычисления самих двугранных углов для правильного или реберно-симметричного идеального многогранника (у которого все эти углы равны), подсчитав, сколько ребер сходится в каждой вершине: идеального правильного тетраэдра, куба или додекаэдра, с три ребра на вершину, имеет двугранные углы $60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})$, идеальный правильный октаэдр или кубооктаэдр с четырьмя ребрами на вершину имеет двугранные углы $90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})$, а идеальный правильный икосаэдр с пятью ребрами на вершину имеет двугранные углы $108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})$.

Объем идеального тетраэдра можно выразить через функцию Клаузена или функцию Лобачевского его двугранных углов, а объем произвольного идеального многогранника затем можно найти, разбив его на тетраэдры и суммируя объемы тетраэдров.

многогранника Инвариант Дена обычно находится путем объединения длин ребер и двугранных углов многогранника, но в случае идеального многогранника длины ребер бесконечны. Этой трудности можно избежать, используя орисферу для усечения каждой вершины, оставляя конечную длину вдоль каждого края. Полученная форма сама по себе не является многогранником, поскольку усеченные грани не плоские, но она имеет конечные длины ребер, а ее инвариант Дена можно вычислить обычным способом, игнорируя новые ребра, где усеченные грани встречаются с исходными гранями многогранника. . Из-за способа определения инварианта Дена и ограничений на двугранные углы, встречающиеся в одной вершине идеального многогранника, результат этого расчета не зависит от выбора орисфер, используемых для усечения вершин.

Комбинаторная структура

Как Эрнст Стейниц ( 1928 доказал ), максимальное независимое множество любого идеального многогранника (наибольшее возможное подмножество несмежных вершин) должно иметь не более половины вершин многогранника. Он может иметь ровно половину только тогда, когда вершины можно разделить на два независимых множества равного размера, так что граф многогранника представляет собой сбалансированный двудольный граф , как и для идеального куба. Более строго, график любого идеального многогранника является 1-жестким , что означает, что для любого $k$, удаление $k$ вершин из графа уходит не более $k$ связанные компоненты. Например, ромбдодекаэдр двудольный, но имеет независимый набор с более чем половиной вершин, а триакис-тетраэдр имеет независимый набор ровно половины вершин, но не является двудольным, поэтому ни один из них не может быть реализован как идеальный многогранник.

и

Не все выпуклые многогранники комбинаторно эквивалентны идеальным многогранникам. Геометрическую характеристику вписанных многогранников безуспешно попыталась Рене Декарт в своей рукописи De Solidorum Elementis около 1630 года . Вопрос о нахождении комбинаторной характеристики идеальных многогранников, аналогичной теореме Стейница, характеризующей евклидовы выпуклые многогранники, был поставлен Якобом Штейнером ( 1832 ); числовая (а не комбинаторная) характеристика была предоставлена ​​Ходжсоном, Ривином и Смитом (1992) . Их характеристика основана на том, что двугранные углы идеального многогранника, инцидентные одной идеальной вершине, должны иметь дополнительные углы , сумма которых равна точно $2\pi$, а дополнительные углы, пересекаемые любой жордановой кривой на поверхности многогранника, имеющего более одной вершины на обеих сторонах, должны быть больше. Например, для идеального куба двугранные углы равны $\pi /3$ и их добавки $2\pi /3$. Сумма трех дополнительных углов при одной вершине равна $2\pi$ но сумма четырех углов, пересекаемых кривой на полпути между двумя противоположными гранями, равна $8\pi /3>2\pi$, а другие кривые пересекают еще большее количество этих углов с еще большей суммой. Ходжсон, Ривин и Смит (1992) показывают, что выпуклый многогранник эквивалентен идеальному многограннику тогда и только тогда, когда его ребрам можно присвоить числа с одинаковыми свойствами: все эти числа лежат между $0$ и $\pi$, они складываются в $2\pi$ в каждой вершине, и в сумме они составляют более чем $2\pi$ на каждом нелицевом цикле двойственного графа . Когда такое присвоение существует, существует единственный идеальный многогранник, двугранные углы которого являются дополнительными к этим числам. Как следствие этой характеристики, реализуемость идеального многогранника может быть выражена как линейная программа с экспоненциально большим количеством ограничений (по одному для каждого нелицевого цикла) и проверена за полиномиальное время с использованием алгоритма эллипсоида .

Более комбинаторная характеристика была предоставлена ​​Дилленкуром и Смитом (1995) для частного случая простых многогранников , многогранников только с тремя гранями и тремя ребрами, сходящимися в каждой (идеальной) вершине. Согласно их характеристике, простой многогранник является идеальным или вписываемым тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: либо график многогранника является двудольным графом , а его двойственный граф , 4-связен либо это 1-сверхжесткий граф. . В этом состоянии быть 1-сверхпрочным — это вариация графической стойкости ; это означает, что для каждого набора $S$ более чем одной вершины графа, удаление $S$ из графа оставляет число компонент связности, строго меньшее $|S|$. На основе этой характеристики они нашли комбинаторный алгоритм с линейным временем для проверки реализуемости простых многогранников как идеальных многогранников.

Соты

Соты идеальных правильных многогранников

тетраэдр 6-го порядка

заказ-6 куб.

октаэдрический порядок-4

додекаэдр порядка 6

Поскольку идеальный правильный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр имеют двугранные углы, являющиеся целыми дробями $2\pi$, все они могут замостить гиперболическое пространство, образуя обычные соты . В этом они отличаются от евклидовых правильных тел, среди которых только куб может замостить пространство. Идеальный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр образуют соответственно тетраэдрические соты 6-го порядка , кубические соты 6-го порядка , октаэдрические соты 4-го порядка и додекаэдрические соты 6-го порядка ; здесь порядок относится к количеству ячеек, встречающихся на каждом ребре. Однако идеальный икосаэдр не распределяет пространство таким же образом.

Разложение Эпштейна-Пеннера, конструкция DBA Epstein и RC Penner ( 1988 ), может использоваться для разложения любого гиперболического 3-многообразия с точками возврата на идеальные многогранники и для представления многообразия как результата склейки этих идеальных многогранников. Каждое многообразие, которое можно представить таким образом, имеет конечное число представлений. Универсальное накрытие многообразия наследует то же разложение, образующее соты идеальных многогранников. Примеры многообразий с точками возврата, приводящих таким образом к сотам, естественным образом возникают как узлы-дополнения гиперболических ссылок , которые имеют точку возврата для каждого компонента ссылки. Например, дополнение узла восьмерки связано таким образом с тетраэдрическими сотами шестого порядка, и дополнение колец Борромео таким же образом связано с октаэдрическими сотами четвертого порядка. Эти две соты и три других, использующих идеальный кубооктаэдр , треугольную призму и усеченный тетраэдр , возникают при изучении групп Бьянки и происходят из многообразий с точками возврата, образованных как факторы гиперболического пространства подгруппами групп Бьянки. Те же многообразия можно интерпретировать и как дополнения зацепления.

Поверхностный коллектор

Поверхность идеального многогранника (не включая его вершины) образует многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере, с однородной двумерной гиперболической геометрией; складки поверхности при ее вложении в гиперболическое пространство не обнаруживаются как складки во внутренней геометрии поверхности. Поскольку эту поверхность можно разбить на идеальные треугольники , ее общая площадь конечна. Наоборот, аналогично теореме единственности Александрова , любое двумерное многообразие с равномерной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное сфере с конечным проколом, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. (Как и в случае с теоремой Александрова, такие поверхности должны включать в себя идеальные диэдры .) С этой точки зрения теория идеальных многогранников имеет тесную связь с дискретными аппроксимациями конформных отображений .

Поверхности идеальных многогранников можно также рассматривать более абстрактно как топологические пространства, образованные склейкой идеальных треугольников путем изометрии по их краям. Для каждой такой поверхности и каждой замкнутой кривой, которая не просто обтекает одну вершину многогранника (один или несколько раз), не отделяя других, существует единственная геодезическая на поверхности, гомотопная данной кривой. В этом отношении идеальные многогранники отличаются от евклидовых многогранников (и от их евклидовых моделей Клейна): например, на евклидовом кубе любая геодезическая может последовательно пересекать не более двух ребер, инцидентных одной вершине, прежде чем пересечь неинцидентное ребро. , но геодезические на идеальном кубе этим не ограничиваются.

См. также

• Канонический многогранник — многогранник, каждое ребро которого касается общей сферы.
• Угол параллельности

Ссылки

• Эбботт, Стив (июль 1997 г.), «Обзор Not Knot и дополнение к Not Knot », The Mathematical Gazette , 81 (491): 340–342, doi : 10.2307/3619248 , JSTOR   3619248 , S2CID   64589738
• Акиёси, Хиротака (2001), «Конечность многогранных разложений гиперболических многообразий с возвратом, полученных методом Эпштейна – Пеннера», Proceedings of the American Mathematical Society , 129 (8): 2431–2439, doi : 10.1090/S0002-9939-00 -05829-9 , МР   1823928
• Бобенко Александр Иванович; Пинкал, Ульрих ; Спрингборн, Борис А. (2015), «Дискретные конформные карты и идеальные гиперболические многогранники», Геометрия и топология , 19 (4): 2155–2215, arXiv : 1005.2698 , doi : 10.2140/gt.2015.19.2155 , MR   3375525
• Чаритос, К. (1996), «Замкнутые геодезические на идеальных многогранниках размерности 2», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 26 (2): 507–521, doi : 10.1216/rmjm/1181072071 , MR   1406493
• Чо, Юнхи; Ким, Хюк (1999), «О формуле объема для гиперболических тетраэдров», Discrete & Computational Geometry , 22 (3): 347–366, doi : 10.1007/PL00009465 , MR   1706606
• Коулсон, Дэвид; Гудман, Оливер А.; Ходжсон, Крейг Д.; Нойман, Уолтер Д. (2000), «Вычисление арифметических инвариантов трехмерных многообразий» , Экспериментальная математика , 9 (1): 127–152, doi : 10.1080/10586458.2000.10504641 , MR   1758805 , S2CID   1313215
• Коксетер, HSM (1956), «Регулярные соты в гиперболическом пространстве», Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам, том. III , Амстердам: Северная Голландия, стр. 155–169, MR   0087114.
• Дилленкур, Майкл Б. (1990), «Прочность и триангуляции Делоне», Дискретная и вычислительная геометрия , 5 (6): 575–601, doi : 10.1007/BF02187810 , MR   1067787
• Дилленкур, Майкл Б.; Эппштейн, Дэвид (2003), «Неописуемый 4-правильный многогранник» , Модели электронной геометрии , Модель № 2003.08.001
• Дилленкур, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1995), «Алгоритм с линейным временем для проверки вписываемости трехвалентных многогранников», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 5 (1–2): 21–36, doi : 10.1142/S0218195995000039 , MR   1331174
• Дилленкур, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1996), «Теоретико-графовые условия вписываемости и реализуемости Делоне» , Discrete Mathematics , 161 (1–3): 63–77, doi : 10.1016/0012-365X(95)00276-3 , MR   1420521 , S2CID   16382428
• Дюпон, Йохан Л.; Сах, Чи Хан (1982), «Ножницы сравнения. II», Журнал чистой и прикладной алгебры , 25 (2): 159–195, doi : 10.1016/0022-4049(82)90035-4 , MR   0662760
• Эпштейн, администратор баз данных ; Пеннер, Р. К. (1988), «Евклидовы разложения некомпактных гиперболических многообразий» , Журнал дифференциальной геометрии , 27 (1): 67–80, doi : 10.4310/jdg/1214441650 , MR   0918457
• Федерико, Паскуале Джозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De Solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, том. 4, Спрингер
• Фейес Тот, Л. (1981), «Некоторые исследования, вдохновленные HSM Coxeter», в Дэвисе, Чендлер; Грюнбаум, Бранко; Шерк, Ф.А. (ред.), Геометрическая жилка: The Coxeter Festschrift , Нью-Йорк: Springer, стр. 271–277, doi : 10.1007/978-1-4612-5648-9_18
• Геритауд, Франсуа (2004), «Об элементарном доказательстве характеристики Ривином выпуклых идеальных гиперболических многогранников их двугранными углами», Geometriae Dedicata , 108 : 111–124, doi : 10.1007/s10711-004-3180-y , MR   2112668 , S2CID   122106334
• Хэтчер, Аллен (1983), «Гиперболические структуры арифметического типа на некоторых дополнениях ссылок», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 27 (2): 345–355, doi : 10.1112/jlms/s2-27.2.345 , МР   0692540
• Ходжсон, Крейг Д.; Ривин, Игорь ; Смит, Уоррен Д. (1992), «Характеристика выпуклых гиперболических многогранников и выпуклых многогранников, вписанных в сферу», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 27 (2): 246–251, arXiv : math/9210218 , doi : 10.1090/S0273-0979-1992-00303-8 , MR   1149872
• Леопольд, Ундина (2014), Вершинно-транзитивные многогранники в трехмерном пространстве , Докторская диссертация, Северо-Восточный университет, hdl : 2047/d20005074
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (январь 2017 г.), «Визуализация гиперболических сот», Journal of Mathematics and the Arts , 11 (1): 4–39, arXiv : 1511.02851 , doi : 10.1080/17513472.2016.1263789 , S2CID   119164821
• Падрол, Арнау; Циглер, Гюнтер М. (2016), «Шесть тем о вписываемых многогранниках», в Бобенко, Александр И. (редактор), « Достижения в области дискретной дифференциальной геометрии » , Springer Open, стр. 407–419, arXiv : 1511.03458 , doi : 10.1007 /978-3-662-50447-5_13
• Ривин, Игорь (1994), «Внутренняя геометрия выпуклых идеальных многогранников в гиперболическом трехмерном пространстве», Анализ, алгебра и компьютеры в математических исследованиях (Лулео, 1992) , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, том. 156, Нью-Йорк: Деккер, стр. 275–291, MR   1280952.
• Ривин, Игорь (1996), «Характеристика идеальных многогранников в гиперболическом трехмерном пространстве», Annals of Mathematics , Second Series, 143 (1): 51–70, doi : 10.2307/2118652 , JSTOR   2118652 , MR   1370757
• Спрингборн, Борис (2020), «Идеальные гиперболические многогранники и дискретная униформизация», Discrete & Computational Geometry , 64 (1): 63–108, doi : 10.1007/s00454-019-00132-8 , MR   4110530 , S2CID   203035718
• Штайнер, Якоб (1832), «Вопрос 77» , Систематическое развитие зависимости геометрических фигур друг от друга (на немецком языке), Берлин: Г. Финке, с. 316
• Стейниц, Эрнст (1928), «Об изопериметрических задачах в выпуклых многогранниках» , Журнал чистой и прикладной математики , 1928 (159): 133–143, doi : 10.1515/crll.1928.159.133 , S2CID   199546274
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 , Принстонская математическая серия, том. 35, Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, ISBN  0-691-08304-5 , МР   1435975