Заказ-6 куб.сот

Заказ-6 куб.сот
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	{4,3,6} {4,3 ^[3]}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔
Клетки	{4,3}
Лица	квадрат {4}
Краевая фигура	шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная плитка
Группа Коксетера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Двойной	Шестиугольная плитка Order-4 сотовая
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

Кубические соты порядка 6 — это паракомпактная регулярная , заполняющая пространство мозаика (или соты ) в гиперболическом трёхмерном пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет фигуры вершин, состоящие из бесконечного числа граней, причем все вершины представляют собой идеальные точки, удаленные на бесконечность. {4,3,6} означает Символ Шлефли , что соты состоят из шести идеальных кубиков, сходящихся по каждому краю. Его вершинная фигура представляет собой бесконечную треугольную мозаику . Его двойником являются соты шестиугольной мозаики четвертого порядка .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Изображения

Одна ячейка, вид за пределами модели сферы Пуанкаре	Кубические соты 6-го порядка аналогичны двумерной гиперболической квадратной мозаике бесконечного порядка {4,∞} с квадратными гранями. Все вершины находятся на идеальной поверхности.

Симметрия

Полусимметричная конструкция кубических сот порядка 6 существует как {4,3 ^[3]}, с двумя чередующимися типами (цветами) кубических ячеек. Эта конструкция имеет диаграмму Кокстера-Дынкина. ↔ .

Другая конструкция более низкой симметрии, [4,3 ^*,6], индекса 6, существует с несимплексной фундаментальной областью, с диаграммой Кокстера-Дынкина .

Эти соты содержат что замощение 2- гиперциклических поверхностей аналогично паракомпактному апейрогональному замощению порядка 3 , :

Связанные многогранники и соты

Кубические соты 6-го порядка представляют собой обычные гиперболические соты в трехмерном пространстве и одни из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Ему присущи родственные чередующиеся соты, представленные ↔ . Эта чередующаяся форма имеет шестиугольную черепицу и тетраэдра ячейки .

имеется пятнадцать однородных сот [6,3,4] В семействе групп Кокстера , включая сами кубические соты 6-го порядка.

[6,3,4] семейные соты
{6,3,4}	r{6,3,4}	t{6,3,4}	rr{6,3,4}	t_0,3{6,3,4}	tr{6,3,4}	t_0,1,3{6,3,4}	t_0,1,2,3{6,3,4}


{4,3,6}	r{4,3,6}	t{4,3,6}	rr{4,3,6}	2t{4,3,6}	tr{4,3,6}	t_0,1,3{4,3,6}	t_0,1,2,3{4,3,6}

Кубические соты 6-го порядка являются частью последовательности правильных полихор и сот с кубическими ячейками .

{4,3,p} обычные соты
Space	S³	E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Это также часть последовательности сот с треугольными фигурами вершин .

Гиперболические однородные соты : {p,3,6}
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Сот ректифицированный порядка 6 куб.

Сот ректифицированный порядка 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г{4,3,6} или т ₁ {4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	г{3,4} {3,6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные кубические соты 6-го порядка , r{4,3,6}, имеет кубооктаэдрические и треугольные грани мозаики, с шестиугольной призмы фигурой вершины .

Он похож на двумерную гиперболическую тетрапейрогональную мозаику r{4,∞}, чередование апейрогональных и квадратных граней:

г{р,3,6}
v
т
и
Космос	ЧАС ³
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	г {3,3,6}	г {4,3,6}	г {5,3,6}	г {6,3,6}	г {7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные соты порядка 6 куб.

Усеченные соты порядка 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	t{4,3,6} или t _0,1 {4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{4,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты порядка 6 , t{4,3,6}, имеет усеченный куб и треугольные грани мозаики, а также шестиугольной пирамиды фигуру вершины .

Это похоже на двумерную гиперболическую усеченную квадратную мозаику бесконечного порядка t{4,∞}, с апейрогональными и восьмиугольными (усеченными квадратными) гранями:

Усеченные соты порядка 6 куб.

аналогичны Кубические соты 6-го порядка с усеченными битами сотам с усеченными гексагональными мозаиками 4-го порядка .

Смещенные соты порядка 6 куб.

Смещенные соты порядка 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	рр{4,3,6} или т _0,2 {4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	рр{4,3} г{3,6} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Согнутые кубические соты порядка 6 , rr{4,3,6}, имеет ромбокубооктаэдр , тригексагональную мозаику и грани шестиугольной призмы с клиновидной вершиной .

Спиралевидные соты порядка 6 куб.

Спиралевидные соты порядка 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	тр{4,3,6} или т _0,1,2 {4,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	тр{4,3} т{3,6} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты порядка 6 , tr{4,3,6}, имеет усеченный кубооктаэдр , шестиугольную черепицу и грани шестиугольной призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Соты прорезанные порядка 6 куб.

Сетчатые кубические соты 6-го порядка аналогичны срезанным шестиугольным мозаичным сотам 4-го порядка .

Сотовый усеченный порядок-6 куб.

Смещенные соты порядка 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т _0,1,3 {4,3,6}
Диаграммы Кокстера
Клетки	т{4,3} рр{3,6} {}x{6} {}x{8}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Кубические соты 6-го порядка rr{4,3,6}, имеет усеченный куб , ромбо-гексагональную мозаику , шестиугольную призму и грани восьмиугольной призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Ранцикантеллярные соты порядка 6 кубических

аналогичны Кубические соты 6-го порядка с усеченными усеченными элементами сотам с шестиугольной черепицей 4-го порядка .

Всеусеченные соты порядка 6 куб.

Всеусеченные кубические соты 6-го порядка аналогичны всеусеченным шестиугольным мозаичным сотам 4-го порядка .

Соты чередующегося порядка - 6 куб.

Соты чередующегося порядка - 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символ Шлефли	ч{4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	трехгексагональная мозаика
Группа Коксетера	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]х[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

В трехмерной гиперболической геометрии чередующиеся шестиугольные соты 6-го порядка представляют собой однородную компактную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). В качестве альтернативы с символом Шлефли h{4,3,6} и диаграммой Коксетера-Дынкина. или , его можно рассматривать как квазиправильные соты с чередующимися треугольными мозаиками и тетраэдрами вокруг каждой вершины в трехгексагональной фигуре вершин мозаики.

Симметрия

Конструкция полусимметрии вида {4,3 ^[3]} существует с двумя чередующимися типами (цветами) треугольных ячеек мозаики. Эта форма имеет диаграмму Кокстера-Динкина. ↔ . Другая форма индекса 6 с более низкой симметрией, [4,3 ^*,6], существует с несимплексной фундаментальной областью, с диаграммой Кокстера-Дынкина .

Связанные соты

Чередованные кубические соты 6-го порядка являются частью серии квазирегулярных полихор и сот.

Квазирегулярная полихора и соты: h{4,p,q}
Space	Finite	Affine	Compact	Paracompact
Schläfli symbol	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Schläfli symbol	$\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{5 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{6 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 4}\right\}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
Coxeter diagram	↔					↔
Image
Vertex figure r{p,3}

Он также имеет 3 родственные формы: кубические соты кантического порядка 6 , h ₂ {4,3,6}, ; кубические соты рунического порядка 6 , h ₃ {4,3,6}, ; и кубические соты ранцикантического порядка 6 , h _2,3 {4,3,6}, .

Кантический порядок - соты 6 куб.

Кантический порядок - соты 6 куб.
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч ₂ {4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т{3,3} г{6,3} т{3,6}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]х[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты кантического порядка 6 представляют собой однородную компактную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли h ₂ {4,3,6}. Он состоит из усеченного тетраэдра , тригексагональной мозаики и граней шестиугольной мозаики с прямоугольной пирамиды фигурой вершины .

Руничный порядок - соты кубические 6

Руничный порядок - соты кубические 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч ₃ {4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,3} {6,3} рр{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группа Коксетера	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты рунического порядка 6 представляют собой однородную компактную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) с символом Шлефли h ₃ {4,3,6}. Он состоит из граней тетраэдра , шестиугольной черепицы и ромботригексагональной черепицы с купола треугольной фигурой вершины .

Рансикантический порядок-6 кубических сот

Рансикантический порядок-6 кубических сот
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч _2,3 {4,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{6,3} тр{6,3} т{3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты ранцикантического порядка 6 представляют собой однородную компактную мозаику , заполняющую пространство (или соты ), с символом Шлефли h _2,3 {4,3,6}. Он состоит из усеченной шестиугольной плитки , усеченной тригексагональной плитки и граней усеченного тетраэдра с зеркальной клиновидной вершиной .

См. также

Ссылки

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера