Однородные соты в гиперболическом пространстве

Нерешенная задача по математике :

Найдите полный набор гиперболических однородных сот.

(еще нерешенные задачи по математике)

В гиперболической геометрии однородные соты в гиперболическом пространстве представляют собой равномерную мозаику однородных многогранных ячеек . В трехмерном гиперболическом пространстве существует девять групп Кокстера компактных выпуклых однородных сот , порожденных как конструкции Витхоффа и представленных перестановками колец семейств диаграмм Кокстера для каждого семейства.

Четыре компактные правильные гиперболические соты

Додекаэдрические соты порядка 4 {5,3,4}	Додекаэдрические соты порядка 5 {5,3,5}
Заказ-5 куб.сот {4,3,5}	Икосаэдрические соты {3,5,3}
модели шара Пуанкаре Проекции

Гиперболические однородные сотовые семьи

Соты делятся на компактные и паракомпактные формы, определяемые группами Кокстера , первая категория включает только конечные ячейки и фигуры вершин (конечные подгруппы), а вторая включает аффинные подгруппы.

Компактные однородные сотовые семьи

девять компактных групп Кокстера Здесь перечислены с их диаграммами Кокстера . в порядке относительных объемов их фундаментальных симплексных областей .

Эти 9 семейств образуют в общей сложности 76 уникальных однородных сот. Полный список гиперболических однородных сот не доказан, и существует неизвестное количество невитоффовых форм. Ниже приведены два известных примера семейства {3,5,3}. Только два семейства связаны зеркальным удалением пополам: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

Индексировано	Фундаментальный симплекс объем	Витт символ	Коксетер обозначение	Коммутатор подгруппа	Коксетер диаграмма	Соты
Ч 1	0.0358850633	${\bar {BH}}_{3}$	[5,3,4]	[(5,3) + ,4,1 + ] = [5,3 1,1 ] +		15 форм, 2 обычных
Ч 2	0.0390502856	${\bar {J}}_{3}$	[3,5,3]	[3,5,3] +		9 форм, 1 обычная
HH3	0.0717701267	${\bar {DH}}_{3}$	[5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ] +		11 форм (7 пересекаются с семейством [5,3,4], 4 уникальны)
Ч 4	0.0857701820	${\widehat {AB}}_{3}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)] +		9 форм
Ч 5	0.0933255395	${\bar {K}}_{3}$	[5,3,5]	[5,3,5] +		9 форм, 1 обычная
Ч 6	0.2052887885	${\widehat {AH}}_{3}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)] +		9 форм
H 7	0.2222287320	${\widehat {BB}}_{3}$	[(4,3) [2] ]	[(4,3 + ,4,3 + )]		6 форм
Ч 8	0.3586534401	${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)] +		9 форм
HH9	0.5021308905	${\widehat {HH}}_{3}$	[(5,3) [2] ]	[(5,3) [2] ] +		6 форм

Есть только две радикальные подгруппы с несимплициальными областями, которые могут быть созданы путем удаления набора из двух или более зеркал, разделенных всеми остальными зеркалами ветвями четного порядка. Один из них [(4,3,4,3 ^* )], представленные диаграммами Кокстера подгруппа индекса 6 с тригонального трапецоэдра фундаментальной областью ↔ , который можно расширить, восстановив одно зеркало как . Другой - [4,(3,5) ^* ], индекс 120 с додекаэдрической фундаментальной областью.

Паракомпактные гиперболические однородные соты

Дополнительная информация: паракомпактные однородные соты.

Также существуют 23 паракомпактные группы Кокстера ранга 4, которые создают паракомпактные однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или фигурами вершин , включая идеальные вершины на бесконечности.

Краткое описание гиперболической паракомпактной группы

Тип	Группы Кокстера
Линейные графики	| | | | | |
Трезубцы графы	| |
Циклические графики	| | | | | | | |
Петлевые графики	| | |

Другие паракомпактные группы Кокстера существуют как фундаментальные области многогранников Винберга , включая эти треугольных бипирамид фундаментальные области (двойные тетраэдры) как графы ранга 5, включающие параллельные зеркала. Однородные соты существуют как все перестановки колец в этих графах с ограничением, согласно которому хотя бы один узел должен быть окольцован по ветвям бесконечного порядка.

Измерение	Классифицировать	Графики
ЧАС 3	5	, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

[3,5,3] семья

Существует 9 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Коксетера : [3,5,3] или

Одна родственная невитоффова форма построена из фигуры вершины {3,5,3} с четырьмя удаленными (тетраэдрически расположенными) вершинами, создавая пятиугольные антипризмы и додекаэдры, заполняющие промежутки, называемую тетраэдрически уменьшенным додекаэдром . Другой построен с удаленными двумя противоположными вершинами.

Битусеченная и рассеченная формы (5 и 6) содержат грани двух правильных косых многогранников : {4,10|3} и {10,4|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Количество ячеек/вершина и позиции в сотах				Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3
1	икосаэдрический (ихон) т 0 {3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	выпрямленный икосаэдр (рих) т 1 {3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	усеченный икосаэдр (тих) т 0,1 {3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	зубчатый икосаэдр (шрих) т 0,2 {3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	сморщенный икосаэдр (спиддих) т 0,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	битусеченный икосаэдр (дыхание) т 1,2 {3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	кантиусеченный икосаэдр (грих) т 0,1,2 {3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	усеченный икосаэдр (прих) т 0,1,3 {3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	всеусеченный икосаэдр (гипиддих) т 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Количество ячеек/вершина и позиции в сотах					Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3	Все
[77]	частично уменьшенный икосаэдр пд{3,5,3}				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
[78]	получастично уменьшенный икосаэдр скорость {3,5,3}				(6) (3.3.3.5) (6) (3.3.3.3.3)	(2) (5.5.5)
Неоднородный	омниснуб икосаэдр (мечта) чт 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,4] семья

Существует 15 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Коксетера : [5,3,4] или .

Это семейство относится к группе [5,3 ^1,1 ] полусимметрией [5,3,4,1 ⁺ ], или ↔ , когда последнее зеркало после ветки порядка 4 неактивно, или в качестве альтернативы, если неактивно третье зеркало ↔ .

#	Название сот Диаграмма Кокстера	Ячейки по расположению и количеству на вершину				Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3
10	Додекаэдр четвертого порядка (доэхон) ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	исправленный додекаэдр четвертого порядка (риддо) ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	ректифицированный заказ-5 куб. (рипеч) ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	заказ-5 куб. (печон)	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	усеченный додекаэдр четвертого порядка (тиддо) ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	битусеченный порядок-5 кубический (сиддо) ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	усеченный порядка-5 кубических (типеч)	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	согнутый додекаэдр четвертого порядка (сриддо) ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	согнутый порядка-5 куб. (срипеч)	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	сморщенный порядка 5 кубов (sidpicdoh)	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	кантиусеченный додекаэдр четвертого порядка (гриддох) ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	кантитусеченный порядка-5 куб. (грипеч)	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	неусеченный додекаэдр четвертого порядка (припеч)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	неусеченный порядка-5 куб. (приддох)	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	всеусеченный порядок-5 куб. (гидпикдох)	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сот Диаграмма Кокстера	Ячейки по расположению и количеству на вершину					Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3	Все
[34]	чередующийся порядок-5 кубический (апеч) ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	кантический порядок-5 куб. (тапеч) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	рунцик порядка 5 куб. (бирапеч) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	ранцикантический порядок-5 кубический (битапеч) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
Неоднородный	курносый выпрямленный додекаэдр четвертого порядка	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)	Ирр. трехмерный икосаэдр
Неоднородный	рунчик курносый выпрямленный додекаэдр 4-го порядка	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+ (3.3.3)
Неоднородный	омниснуб заказ-5 куб.	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,5] семья

Существует 9 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера : [5,3,5] или

Битусеченная и рассеченная формы (29 и 30) содержат грани двух правильных косых многогранников : {4,6|5} и {6,4|5}.

#	Название сот Диаграмма Кокстера	Ячейки по расположению и количеству на вершину				Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3
25	(Регулярный) Додекаэдр 5-го порядка (педон) т 0 {5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	выпрямленный додекаэдр пятого порядка (рваный) т 1 {5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	усеченный додекаэдр 5-го порядка (с наконечником) т 0,1 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	согнутый додекаэдр пятого порядка (разрезанный) т 0,2 {5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	Ранцинированный додекаэдр 5-го порядка (с зубцами) т 0,3 {5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	усеченный додекаэдр пятого порядка (диддо) т 1,2 {5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	кантитусеченный додекаэдр порядка 5 (захваченный) т 0,1,2 {5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	усеченный додекаэдр порядка 5 (с надрезом) т 0,1,3 {5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	всеусеченный додекаэдр пятого порядка (гипидированный) т 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сот Диаграмма Кокстера	Ячейки по расположению и количеству на вершину					Вершинная фигура	Картина
		0	1	2	3	Все
Неоднородный	додекаэдр омниснуба порядка 5 чт 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3 ^1,1 ] семья

Существует 11 форм (и только 4, не принадлежащих семейству [5,3,4]), порожденных кольцевыми перестановками группы Коксетера : [5,3 ^1,1 ] или . Если состояния ветвей кольца совпадают, расширенная симметрия может удвоиться в семейство [5,3,4], ↔ .

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)				вершина фигуры	Картина
		0	1	0'	3
34	чередующийся порядок-5 кубический (апеч) ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	кантический порядок-5 куб. (тапеч) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	рунцик порядка 5 куб. (бирапеч) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	ранцикантический порядок-5 кубический (битапеч) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера ↔	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)				вершина фигуры	Картина
		0	1	3	Все
[10]	Додекаэдр порядка 4 (доэхон) ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	исправленный додекаэдр четвертого порядка (риддо) ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	ректифицированный заказ-5 куб. (рипеч) ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	битусеченный порядок-5 кубический (сиддо) ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	усеченный додекаэдр четвертого порядка (тиддо) ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	согнутый додекаэдр четвертого порядка (сриддо) ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	кантиусеченный додекаэдр четвертого порядка (гриддох) ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Неоднородный	курносый выпрямленный додекаэдр четвертого порядка ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) + (3.3.3)	Ирр. трехмерный икосаэдр

[(4,3,3,3)] семейство

Существует 9 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера :

Битусеченная и несеченная формы (41 и 42) содержат грани двух правильных косых многогранников : {8,6|3} и {6,8|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)					вершина фигуры	Картина
		0	1	2	3	Все
38	тетраэдрически-кубический (гадтатдический) {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	тетраэдрически-октаэдрический (гакокаддит) {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	циклоусеченный тетраэдрически-кубический (цититч) ct{(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	циклическиусеченный куб-тетраэдр (цитит) ct{(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	циклоусеченный октаэдр-тетраэдр (цитот) ct{(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	выпрямленный тетраэдр-куб (рич) г {(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	усеченный четырехгранно-кубический (титч) т{(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	усеченный тетраэдр-октаэдр (титдох) т{(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	всеусеченный четырехгранно-кубический (отит) тр{(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Неоднородный	омниснуб тетраэдрально-кубический ср{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,3,3)] семейство

Существует 9 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера :

Битусеченная и рассеченная формы (50 и 51) содержат грани двух правильных косых многогранников : {10,6|3} и {6,10|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)				вершина фигуры	Картина
		0	1	2	3
47	тетраэдр-додекаэдрический	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	тетраэдр-икосаэдрический	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	циклоусеченный тетраэдр-додекаэдр	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	выпрямленный тетраэдр-додекаэдр	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	усеченный тетраэдр-додекаэдр	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	усеченный тетраэдр-икосаэдр	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)			вершина фигуры	Картина
		0,1	2,3	Все
50	циклическиусеченный додекаэдр-тетраэдр	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	циклоусеченный тетраэдр-икосаэдр	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	всеусеченный тетраэдр-додекаэдр	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Неоднородный	омниснуб тетраэдр-додекаэдрический	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,4,3)] семейство

Существует 6 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера : . Возможны 4 расширенные симметрии, основанные на симметрии колец: , , , и .

Это семейство симметрии также связано с радикальной подгруппой индекса 6, ↔ , построенный по [(4,3,4,3 ^* )] и представляет собой тригонального трапецоэдра фундаментальную область .

Усеченные формы (57 и 58) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6|4} и {8,8|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)				вершина фигуры	Картинки
		0	1	2	3
56	кубико-октаэдрический (кохон)	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	усеченный кубо-октаэдр (туко)	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)			вершина фигуры	Картина
		0,3	1,2	Все
57	циклоусеченный октаэдрически-кубический (цитох)	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Неоднородный	циклоснуб октаэдрически-кубический	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) + (3.3.3.3)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)		вершина фигуры	Картина
		0,1	2,3
58	циклоусеченный кубо-октаэдр (цитако)	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)		вершина фигуры	Картина
		0,2	1,3
59	выпрямленный кубо-октаэдр (ракох)	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)		вершина фигуры	Картина
		0,1,2,3	Все
61	всеусеченный кубо-октаэдр (отако)	(4) (4.6.8)
Неоднородный	омниснуб кубико-октаэдрический	(4) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,5,3)] семейство

Существует 9 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера :

Усеченные формы (65 и 66) содержат грани двух правильных косых многогранников : {10,6|3} и {6,10|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)				вершина фигуры	Картина
		0	1	2	3
62	октаэдр-додекаэдрический	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	кубико-икосаэдрический	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	циклоусеченный октаэдр-додекаэдр	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	выпрямленный октаэдр-додекаэдр	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	усеченный октаэдр-додекаэдр	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	усеченный кубододекаэдр	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)			вершина фигуры	Картина
		0,1	2,3	Все
65	циклоусеченный додекаэдр-октаэдр	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	циклоусеченный кубикокосаэдр	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	всеусеченный октаэдр-додекаэдр	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Неоднородный	омниснуб октаэдрически-додекаэдрический	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,5,3)] семейство

Существует 6 форм, порожденных кольцевыми перестановками группы Кокстера : . Возможны 4 расширенные симметрии, основанные на симметрии колец: , , , и .

Усеченные формы (72 и 73) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6|5} и {10,10|3}.

#	Сотовое имя Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и посчитаем вокруг каждой вершины)					вершина фигуры	Картина
		0	1	2	3	Все
71	додекаэдр-икосаэдр	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	циклоусеченный икосаэдр-додекаэдр	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	циклическиусеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	выпрямленный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	усеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	всеусеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Неоднородный	омниснуб додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

Другие не-витоффианцы

Существует несколько других известных не витоффовых однородных компактных гиперболических сот, и неизвестно, сколько еще предстоит открыть. Два из них были перечислены выше как уменьшения икосаэдрических сот {3,5,3}.

В 1997 году Венди Кригер обнаружила бесконечную серию однородных гиперболических сот с псевдоикосаэдрическими вершинными фигурами, состоящими из 8 кубов и 12 p -угольных призм в вершине для любого целого числа p . В случае p = 4 все ячейки представляют собой кубы, и результатом являются кубические соты пятого порядка.

Еще два известных относятся к некомпактным семействам. Мозаика состоит из усеченных кубиков и бесконечные треугольные мозаики восьмого порядка . Однако последние пересекают сферу на бесконечности ортогонально, имея точно такую ​​же кривизну, что и гиперболическое пространство, и могут быть заменены зеркальными изображениями оставшейся части мозаики, в результате чего образуются компактные однородные соты, состоящие только из усеченных кубов. (Таким образом, они аналогичны полуграням сферических полумногогранников .) Нечто подобное можно сделать с помощью тесселяции состоит из мелких ромбокубооктаэдров , бесконечные треугольные мозаики восьмого порядка , и бесконечные квадратные мозаики порядка 8 . Квадратные мозаики восьмого порядка уже пересекают сферу на бесконечности ортогонально, и если треугольные мозаики восьмого порядка дополняются набором треугольных призм , поверхность, проходящая через их центральные точки, также пересекает сферу на бесконечности ортогонально. После замены зеркальными изображениями в результате получаются компактные соты, содержащие маленькие ромбокубооктаэдры и треугольные призмы.

Еще один невитоффиан был обнаружен в 2021 году. В качестве вершины он имеет курносый куб с удаленными 8 вершинами и содержит два октаэдра и восемь курносых кубов в каждой вершине. Впоследствии Кригер обнаружил не-витоффиан с курносым кубом в качестве вершины, содержащим 32 тетраэдра и 6 октаэдров в каждой вершине, и что усеченная и выпрямленная версии этих сот все еще однородны. В 2022 году Ричард Клитцинг обобщил эту конструкцию, включив в нее любые курносые как вершинная фигура: результат компактен для p = 4 или 5 (с курносым кубом или курносой додекаэдрической вершинной фигурой соответственно), паракомпактный для p = 6 (с курносой тригексагональной мозаикой в ​​качестве вершинной фигуры) и гиперкомпактный для p>6 . Опять же, усеченная и исправленная версии этих сот по-прежнему одинаковы.

Сводный перечень компактных однородных сот

Это полный перечень 76 однородных сот Витоффа. Изменения перечислены для полноты, но большинство из них неоднородны.

Индекс	Группа Коксетера	Расширенный симметрия	Соты		Хиральный расширенный симметрия	Чередование сот
Ч 1	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	| | | | | | | | | | | |	[1 + ,4,(3,5) + ]	(2)	(= )
					[4,3,5] +	(1)
Ч 2	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	| | | | |
		[2 + [3,5,3]]	5	| |	[2 + [3,5,3]] +	(1)
HH3	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ]	4	| | |
		[1[5,3 1,1 ]]=[5,3,4] ↔	(7)	| | | | | |	[1[5,3 1,1 ]] + =[5,3,4] +	(1)
Ч 4	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(4,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(4,3,3,3)]] +	(1)
Ч 5	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	| | | | |
		[2 + [5,3,5]]	3	| |	[2 + [5,3,5]] +	(1)
Ч 6	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,3,3)]] +	(1)
H 7	${\widehat {BB}}_{3}$ [(3,4) [2] ]	[(3,4) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1		[2 + [(3 + ,4) [2] ]]	(1)
		[(2,2) + [(3,4) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,4) [2] ]] +	(1)
Ч 8	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,4,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,4,3)]] +	(1)
HH9	${\widehat {HH}}_{3}$ [(3,5) [2] ]	[(3,5) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[(2,2) + [(3,5) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,5) [2] ]] +	(1)

См. также

• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список правильных многогранников # Тесселяции гиперболического трехмерного пространства

Ссылки

• Дж. Хамфрис (1990), Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29
• HSM Coxeter (1954), «Регулярные соты в гиперболическом пространстве», Труды Международного конгресса математиков , том. 3, Северная Голландия, стр. 155–169. Перепечатано как Ch. 10 в Коксетере (1999), Красота геометрии: двенадцать эссе , Дувр, ISBN   0-486-40919-8
• HSM Coxeter (1973), Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Дж. Уикс «Форма пространства» , 2-е изд. ISBN   0-8247-0709-5 , Главы 16–17: Геометрии трехмерных многообразий I, II
• А. Феликсон (2002), «Разложение Кокстера гиперболических тетраэдров» (препринт) arXiv : math/0212010
• К.В.Л. Гарнер, Правильные косые многогранники в гиперболической трехмерной банке. Дж. Математика. 19, 1179–1186, 1967. PDF [3] Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine.
• Н. В. Джонсон (2018), Геометрия и преобразования , главы 11–13
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Рэтклифф, С. Т. Чанц (1999), Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований, Том 4, Выпуск 4, стр. 329–353 [4]
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера H ³ : стр130. [5]
• Клитцинг, Ричард. «Гиперболические соты H3 компакт» .