Икосаэдрические соты

Икосаэдрические соты
Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты
Символ Шлефли	{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{5,3} ( правильный икосаэдр )
Лица	{3} ( треугольник )
Краевая фигура	{3} (треугольник)
Вершинная фигура	додекаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	Дж 3 , [3,5,3]
Характеристики	Обычный

В геометрии икосаэдрические соты — это одна из четырех компактных, правильных , заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом трехмерном пространстве . С символом Шлефли {3,5,3} есть три икосаэдра вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильной додекаэдрической вершинной фигуре .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол правильного икосаэдра составляет около 138,2 °, поэтому невозможно разместить три икосаэдра вокруг ребра в евклидовом трехмерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированные икосаэдры могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут поместиться вокруг ребра.

Соты в перспективе за пределами модельного диска Пуанкаре

Родственные обычные соты

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре правильных компактных сот:

Четыре регулярных компактных сот в формате H ³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

Связанные правильные многогранники и соты

Он входит в последовательность правильных полихор и сот {3, p , 3} с дельтраэдрическими ячейками:

показывать {3, p , 3} многогранники
Space	S3		H3
Form	Finite		Compact	Paracompact	Noncompact
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Image
Cells	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vertex figure	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является членом последовательности правильных полихор и сот { p ,5, p } с вершинными фигурами , состоящими из пятиугольников:

показывать { p ,5, p } обычные соты
Space	H3
Form	Compact	Noncompact
Name	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	...{∞,5,∞}
Image
Cells {p,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
Vertex figure {5,p}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

Равномерные соты

имеется девять однородных сот [3,5,3] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму, а также усеченную форму t _1,2 {3,5,3}, , также называемые усеченными додекаэдрическими сотами , каждая из ячеек которых представляет собой усеченные додекаэдры .

[3,5,3] семейные соты

{3,5,3}	т 1 {3,5,3}	т 0,1 {3,5,3}	т 0,2 {3,5,3}	т 0,3 {3,5,3}
	т 1,2 {3,5,3}	т 0,1,2 {3,5,3}	т 0,1,3 {3,5,3}	т 0,1,2,3 {3,5,3}

Ректифицированные икосаэдрические соты

Ректифицированные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г{3,5,3} или т 1 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г{3,5} {5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные икосаэдрические соты , t ₁ {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и икосододекаэдра с треугольной фигурой вершины призмы:

Перспективные проекции из центра модели диска Пуанкаре

Связанные соты

Существует четыре выпрямленных компактных правильных сот:

Четыре выпрямленные регулярные компактные соты в H ³

Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Вертекс фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{3,5,3} или т 0,1 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,5} {5,3}
Лица	пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты икосаэдра , t _0,1 {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и усеченного икосаэдра , с фигурой вершины треугольной пирамиды .

Связанные соты

Четыре усеченных правильных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вертекс фигура

Двуусеченные соты икосаэдра

Двуусеченные соты икосаэдра
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{3,5,3} или т 1,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{5,3}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	тетрагональный дисфеноид
Группа Коксетера	$2\times {\overline {J}}_{3}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, клеточно-транзитивный

Битусеченные соты икосаэдра , t _1,2 {3,5,3}, , имеет додекаэдра усеченные ячейки с тетрагональной фигурой в вершине дисфеноида .

Связанные соты

Три компактных сот с усеченными кусочками в H ³

Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вертекс фигура

Кантелеллированные икосаэдрические соты

Кантелеллированные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{3,5,3} или т 0,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр{3,5} г{5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Зубчатые соты икосаэдра , t _0,2 {3,5,3}, , имеет ромбокосододекаэдр , икосододекаэдр и треугольные ячейки призмы с клиновидной вершиной.

Кантиусеченные икосаэдрические соты

Кантиусеченные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr{3,5,3} или t 0,1,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{3,5} т{5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные икосаэдрические соты , t _0,1,2 {3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный додекаэдр и треугольные ячейки призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Связанные соты

Четыре скошенных правильных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вертекс фигура

Сморщенные икосаэдрические соты

Сморщенные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	пятиугольная антипризма
Группа Коксетера	$2\times {\overline {J}}_{3}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Сорчатый икосаэдрический сот , t _0,3 {3,5,3}, , имеет икосаэдр и треугольные ячейки призмы с пятиугольной вершиной антипризмы .

Вид из центра треугольной призмы.

Связанные соты

Три сучковатых правильных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	т 0,3 {4.3.5}	т 0,3 {3,5,3}	т 0,3 {5,3,5}
Вертекс фигура

Икосаэдрические соты из цитрусовых усеченных форм

Икосаэдрические соты из цитрусовых усеченных форм
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,5} рр{3,5} {}×{3} {}×{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты икосаэдрически-усеченные , t _0,1,3 {3,5,3}, , имеет усеченный икосаэдр , ромбокосододекаэдр , шестиугольную призму и треугольные ячейки призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды вершинной фигурой .

Стыковые икосаэдрические соты эквивалентны суженным икосаэдральным сотам.

Вид из центра треугольной призмы.

Всеусеченные икосаэдрические соты

Всеусеченные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{3,5} {}×{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {10}
Вершинная фигура	филлический дисфеноид
Группа Коксетера	$2\times {\overline {J}}_{3}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные икосаэдрические соты , t _0,1,2,3 {3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр и шестиугольной призмы ячейки с филлической фигурой дисфеноида в вершине.

В центре шестиугольной призмы

Икосаэдрические соты Omnisnub

Икосаэдрические соты Omnisnub
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч(т 0,1,2,3 {3,5,3})
Диаграмма Кокстера
Клетки	ср{3,5} с{2,3} ирр. {3,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура
Группа Коксетера	[[3,5,3]] +
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Омниструбные икосаэдрические соты , h(t _0,1,2,3 {3,5,3}), , имеет курносые ячейки додекаэдра , октаэдра и тетраэдра с неправильной фигурой вершин. Он вершинно-транзитивен , но не может быть создан с однородными ячейками.

Частично уменьшенные икосаэдрические соты

Частично уменьшенные икосаэдрические соты Икосаэдрические соты с уменьшенными парабидиминисценциями
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	пд{3,5,3}
Диаграмма Кокстера	-
Клетки	{5,3} с{2,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	тетраэдрически уменьшенный додекаэдр
Группа Коксетера	1 / 5 [3,5,3] +
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Частично уменьшенные икосаэдрические соты или парабидиминированные икосаэдрические соты , pd{3,5,3}, представляют собой не витоффовские однородные соты с додекаэдром и пятиугольными ячейками антипризмы, с тетраэдрически уменьшенной фигурой вершины додекаэдра . Икосаэдрические ячейки {3,5,3} уменьшаются в противоположных вершинах (парабидоуменьшенные), оставляя ядро ​​пентагональной антипризмы ( парабидиминированный икосаэдр ) и создавая новые ячейки додекаэдра сверху и снизу.

См. также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
• Пространство Зейферта – Вебера
• 11-ячейка — абстрактный правильный многохорон с общим символом Шлефли {3,5,3} .

Ссылки

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 г. ISBN   0-486-40919-8 (Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213)
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
• Клитцинг, Ричард. «Гиперболические соты H3, гиперболическая икосаэдрическая мозаика 3-го порядка» .