Икосаэдрические соты

Икосаэдрические соты
Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты
Символ Шлефли	${3,5,3}$
Диаграмма Кокстера
Клетки	${5,3}$ ( правильный икосаэдр )
Лица	${3}$ ( треугольник )
Краевая фигура	${3}$ (треугольник)
Вершинная фигура	додекаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	$Дж 3, [3,5,3]$
Характеристики	Обычный

В геометрии икосаэдрические соты — это одна из четырех компактных, правильных , заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом трехмерном пространстве . С символом Шлефли ${3,5,3}$ есть три икосаэдра вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильной додекаэдрической вершинной фигуре .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол правильного икосаэдра составляет около 138,2 °, поэтому невозможно разместить три икосаэдра вокруг ребра в евклидовом трехмерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированные икосаэдры могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут поместиться вокруг ребра.

Родственные обычные соты

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных сот:

Четыре регулярных компактных сот в формате H ³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

Связанные правильные многогранники и соты

Он входит в последовательность правильных полихор и сот {3, p , 3} с дельтраэдрическими ячейками:

{3, p , 3} многогранники
Space	S³		H³
Form	Finite		Compact	Paracompact	Noncompact
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Image
Cells	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vertex figure	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является членом последовательности правильных полихор и сот { p ,5, p } с вершинными фигурами , состоящими из пятиугольников:

{ p ,5, p } обычные соты
Space	H³
Form	Compact	Noncompact
Name	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	...{∞,5,∞}
Image
Cells {p,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
Vertex figure {5,p}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

Равномерные соты

имеется девять однородных сот [3,5,3] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму, а также усеченную форму t _1,2 {3,5,3}, , также называемые усеченными додекаэдрическими сотами , каждая из ячеек которых представляет собой усеченные додекаэдры .

[3,5,3] семейные соты
т ₁ {3,5,3}	т _0,1 {3,5,3}	т _0,2 {3,5,3}	т _0,3 {3,5,3}

т _1,2 {3,5,3}	т _0,1,2 {3,5,3}	т _0,1,3 {3,5,3}	т _0,1,2,3 {3,5,3}

Ректифицированные икосаэдрические соты

Ректифицированные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г{3,5,3} или т ₁ {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г{3,5} {5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные икосаэдрические соты , t ₁ {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и икосододекаэдра с треугольной фигурой вершины призмы:

Перспективные проекции из центра модели диска Пуанкаре

Связанные соты

Существует четыре выпрямленных компактных правильных сот:

Четыре выпрямленные регулярные компактные соты в H ³
Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Вертекс фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{3,5,3} или т _0,1 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,5} {5,3}
Лица	пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты икосаэдра , t _0,1 {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и усеченного икосаэдра , с фигурой вершины треугольной пирамиды .

Связанные соты

Четыре усеченных правильных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вертекс фигура

Двуусеченные соты икосаэдра

Двуусеченные соты икосаэдра
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{3,5,3} или т _1,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{5,3}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	тетрагональный дисфеноид
Группа Коксетера	$2\times {\overline {J}}_{3}$ , [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, клеточно-транзитивный

Битусеченные соты икосаэдра , t _1,2 {3,5,3}, , имеет додекаэдра усеченные ячейки с тетрагональной фигурой в вершине дисфеноида .

Связанные соты

Три компактных сот с усеченными кусочками в H ³
Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вертекс фигура

Кантелеллированные икосаэдрические соты

Кантелеллированные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{3,5,3} или т _0,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр{3,5} г{5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Зубчатые соты икосаэдра , t _0,2 {3,5,3}, , имеет ромбокосододекаэдр , икосододекаэдр и треугольные ячейки призмы с клиновидной вершиной.

Связанные соты

Четыре зубчатых регулярных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	рр{5,3,4}	рр{4,3,5}	рр{3,5,3}	рр{5,3,5}
Вертекс фигура

Кантиусеченные икосаэдрические соты

Кантиусеченные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr{3,5,3} или t _0,1,2 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{3,5} т{5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\overline {J}}_{3}$ , [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные икосаэдрические соты , t _0,1,2 {3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный додекаэдр и треугольные ячейки призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Связанные соты

Четыре скошенных регулярных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вертекс фигура

Сморщенные икосаэдрические соты

Сморщенные икосаэдрические соты
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,3 {3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	пятиугольная антипризма
Группа Коксетера	$2\times {\overline {J}}_{3}$ , [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Сорчатый икосаэдрический сот , t _0,3 {3,5,3}, , имеет икосаэдр и треугольные ячейки призмы с пятиугольной вершиной антипризмы .

Вид из центра треугольной призмы.

Связанные соты

Три сучковатых правильных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	т _0,3 {4.3.5}	т _0,3 {3,5,3}	т _0,3 {5,3,5}
Вертекс фигура