Додекаэдрические соты порядка 4

Додекаэдрические соты порядка 4

Тип	Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты
Символ Шлефли	${5,3,4} {5,3 1,1}$
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	${5,3}$ ( додекаэдр )
Лица	${5}$ ( пятиугольник )
Краевая фигура	${4}$ ( квадрат )
Вершинная фигура	октаэдр
Двойной	Заказ-5 куб.сот
Группа Коксетера	$ЧД 3, [4,3,5] ДХ 3, [5,3 1,1]$
Характеристики	Обычные, квазирегулярные соты

В гиперболической геометрии — додекаэдрические соты четвертого порядка это одна из четырех компактных регулярных , заполняющих пространство мозаик (или сот ) гиперболического трехмерного пространства . Символ Шлефли ${5,3,4}$ имеет четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдрическом расположении. Его вершины построены из трёх ортогональных осей. Его двойником являются кубические соты пятого порядка .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол правильного додекаэдра составляет ~ 116,6 °, поэтому невозможно уместить 4 из них на ребре в евклидовом трехмерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированный правильный додекаэдр можно масштабировать так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, и тогда на каждом ребре точно помещаются четыре.

Симметрия

Он имеет конструкцию полусимметрии, {5,3 ^1,1}, с двумя типами (цветами) додекаэдров в конструкции Витгофа . ↔ .

Изображения

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической пятиугольной мозаики четвертого порядка , {5,4}

Вид на додекаэдрические соты 4-го порядка по модели Бельтрами-Клейна.

Связанные многогранники и соты

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных сот:

Четыре регулярных компактных сот в формате H ³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

имеется пятнадцать однородных сот [5,3,4] В семействе групп Коксетера , включая эту правильную форму.

[5,3,4] семейные соты
{5,3,4}	г {5,3,4}	т{5,3,4}	рр{5,3,4}	т _0,3 {5,3,4}	тр{5,3,4}	т _0,1,3 {5,3,4}	т _0,1,2,3 {5,3,4}


{4,3,5}	г {4,3,5}	т{4,3,5}	рр{4,3,5}	2т{4,3,5}	тр{4,3,5}	т _0,1,3 {4,3,5}	т _0,1,2,3 {4,3,5}

имеется одиннадцать однородных сот [5,3 В разветвлении ^1,1] Семейство группы Кокстера, включая эти соты в их альтернативной форме. Данную конструкцию можно изобразить чередованием (шахматкой) двухцветных додекаэдрических ячеек.

Эта сота также связана с 16-ячеечной , кубической сотой и шестиугольной черепичной сотой 4-го порядка, все из которых имеют восьмигранные вершинные фигуры:

{p,3,4} обычные соты
Space	S³	E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Этот сот входит в последовательность полихор и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,р}
Космос	С ³	ЧАС ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Изображение
Вертекс фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 4

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г {5,3,4} г{5,3 ^1,1}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г{5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	квадратная призма
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные додекаэдрические соты 4-го порядка , , имеет чередующиеся ячейки октаэдра и икосододекаэдра , с квадратной призмы фигурой вершины .

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической тетрапентагональной мозаики r{5,4}.

Связанные соты

Существует четыре выпрямленных компактных правильных сот:

Четыре выпрямленные регулярные компактные соты в H ³
Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Вертекс фигура

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{5,3,4} т{5,3 ^1,1}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты 4-го порядка , , имеет ячейки октаэдра и усеченного додекаэдра , с квадратной пирамиды фигурой вершины .

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической усеченной пятиугольной мозаики четвертого порядка , t{5,4} с усеченным пятиугольником и квадратными гранями:

Связанные соты

Четыре усеченных правильных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вертекс фигура

Двуусеченные додекаэдрические соты порядка 4

Двуусеченные додекаэдрические соты порядка 4 Усеченные соты порядка 5 куб.
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{5,3,4} 2т{5,3 ^1,1}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{3,5} т{3,4}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Додекаэдрические соты четвертого порядка или кубические соты пятого порядка . , имеет усеченный октаэдр и усеченные ячейки икосаэдра , с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Связанные соты

Три компактных сот с усеченными кусочками в H ³
Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вертекс фигура

Скошенные додекаэдрические соты порядка 4

Скошенные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{5,3,4} рр{5,3 ^1,1}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	рр{3,5} г{3,4} {}x{4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантелеллированные додекаэдрические соты порядка 4 , , имеет ромбокосододекаэдр , кубооктаэдр и ячейки куба с клина фигурой вершины .

Связанные соты

Четыре зубчатых регулярных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	рр{5,3,4}	рр{4,3,5}	рр{3,5,3}	рр{5,3,5}
Вертекс фигура

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 4

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	тр{5,3,4} тр{5,3 ^1,1}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	тр{3,5} т{3,4} {}x{4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 4 , , имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный октаэдр и ячейки куба с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Связанные соты

Четыре скошенных регулярных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вертекс фигура

Ранцинированные додекаэдрические соты порядка 4

Додекаэдрические соты четвертого порядка аналогичны кубическим сотам пятого порядка .

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 4

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,3 {5,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{5,3} рр{3,4} {}х{10} {}x{4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4 , , имеет усеченный додекаэдр , ромбокубооктаэдр , десятиугольную призму и ячейки куба , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Связанные соты

Четыре правильных компактных сот с усеченными краями в форме H. ³

Додекаэдрические соты Runcicantellated порядка 4

аналогичны Додекаэдрические соты четвертого порядка с ранцикантелляцией кубическим сотам с усеченными усеченными элементами 5-го порядка .

Всеусеченные додекаэдрические соты порядка 4

Всеусеченные додекаэдрические соты 4-го порядка аналогичны всеусеченным кубическим сотам 5-го порядка .

См. также

Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
Сфера гомологий Пуанкаре Додекаэдрическое пространство Пуанкаре
Пространство Зейферта–Вебера Додекаэдрическое пространство Зейферта–Вебера

Ссылки

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 г. ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213)
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера