Шестиугольная плитка Order-4 сотовая

Шестиугольная плитка Order-4 сотовая
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{6,3,4} {6,3 ^1,1} т _0,1 {(3,6) ²}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестигранник {6}
Краевая фигура	квадрат {4}
Вершинная фигура	октаэдр
Двойной	Заказ-6 куб.сот
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\widehat {VV}}_{3}$ , [(6,3) ^[2]]
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

В области гиперболической геометрии гексагональная мозаика четвертого порядка возникает как одна из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат на орисфере : плоской плоскости в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Символ Шлефли шестиугольных сот четвертого порядка — {6,3,4}. Поскольку значение шестиугольной мозаики равно {6,3}, эта сотовая структура имеет четыре таких шестиугольных мозаики, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символом Шлефли октаэдра является {3,4}, вершинной фигурой этой соты является октаэдр. Таким образом, в каждой вершине этой соты встречаются восемь шестиугольных мозаик, а шесть ребер, встречающихся в каждой вершине, лежат вдоль трех ортогональных осей. ^[1]

Изображения

Перспективная проекция	Одна ячейка, вид снаружи сферы Пуанкаре
Вершины t{(3,∞,3)} , тайлинг существует как 2- гиперцикл внутри этой соты	Соты аналогичны H. ² Апейрогон 4-го порядка , {∞,4}, показанный здесь с одним зеленым апейрогоном, очерченным его орициклом

Симметрия

Шестиугольные соты четвертого порядка имеют три отражающие конструкции симплексной симметрии.

Равномерная конструкция полусимметрии {6,3 ^1,1} имеет два типа (цвета) шестиугольных мозаик с диаграммой Коксетера ↔ . Также существует конструкция четверти симметрии с четырьмя цветами шестиугольных плиток: .

Существуют еще две отражательные симметрии с несимплектическим фундаментальными областями: [6,3 ^*,4], индекс 6, с диаграммой Кокстера ; и [6,(3,4) ^*], что имеет индекс 48. Последний имеет кубическую фундаментальную область и октаэдрическую диаграмму Кокстера с тремя осевыми бесконечными ветвями: . Его можно рассматривать как использование восьми цветов для окраски шестиугольных плиток сот.

Шестиугольные соты 4-го порядка содержат , которые замощают 2- гиперциклические поверхности и подобны усеченному треугольному замощению бесконечного порядка , :

Связанные многогранники и соты

Шестиугольные соты 4-го порядка представляют собой правильные гиперболические соты в трехмерном пространстве и одни из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

имеется пятнадцать однородных сот [6,3,4] В семействе групп Коксетера , включая эту правильную форму и ее двойственную форму , кубические соты порядка 6 .

[6,3,4] семейные соты
{6,3,4}	r{6,3,4}	t{6,3,4}	rr{6,3,4}	t_0,3{6,3,4}	tr{6,3,4}	t_0,1,3{6,3,4}	t_0,1,2,3{6,3,4}


{4,3,6}	r{4,3,6}	t{4,3,6}	rr{4,3,6}	2t{4,3,6}	tr{4,3,6}	t_0,1,3{4,3,6}	t_0,1,2,3{4,3,6}

Шестиугольные соты 4-го порядка имеют родственные чередующиеся соты: ↔ , с треугольной мозаикой и октаэдра ячейками .

Это часть последовательности правильных сот формы {6,3,p}, каждая из которых состоит из шестиугольных ячеек мозаики:

{6,3,p} соты v т и
Space	H³
Form	Paracompact				Noncompact
Name	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
Image
Vertex figure {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Эти соты также связаны с 16-ячеистыми кубическими сотами и додекаэдрическими сотами 4-го порядка , все из которых имеют октаэдрические вершинные фигуры.

{p,3,4} обычные соты
Space	S³	E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Вышеупомянутые соты также являются квазирегулярными:

Обычные и квазирегулярные соты: {p,3,4} и {p,3. ^1,1}
Space	Euclidean 4-space	Euclidean 3-space	Hyperbolic 3-space
Name	{3,3,4} {3,3^1,1} = $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	{4,3,4} {4,3^1,1} = $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$	{5,3,4} {5,3^1,1} = $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$	{6,3,4} {6,3^1,1} = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
Image
Cells {p,3}

Ректифицированные соты шестигранной черепицы порядка 4

Ректифицированные соты шестигранной черепицы порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г{6,3,4} или т ₁ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{3,4} г{6,3}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	квадратная призма
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные соты шестиугольной мозаики 4-го порядка , t ₁ {6,3,4}, имеет октаэдрические и тригексагональные грани мозаики с квадратной призмы фигурой вершины .

Он похож на двумерную гиперболическую тетрапейрогональную мозаику r{∞,4}, в котором чередуются апейрогональные и квадратные грани:

Усеченные соты шестиугольной черепицы порядка 4

Усеченные соты шестиугольной черепицы порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т{6,3,4} или т _0,1 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,4} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты шестиугольной мозаики 4-го порядка , t _0,1 {6,3,4}, имеет октаэдр и усеченные шестиугольные грани мозаики, с квадратной пирамиды фигурой вершины .

Это похоже на двумерную гиперболическую усеченную апейрогональную мозаику четвертого порядка , t{∞,4}, с апейрогональными и квадратными лицами:

Усеченные шестиугольные соты порядка 4

Усеченные шестиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	2т{6,3,4} или т _1,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т{4,3} т{3,6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты четвертого порядка , t _1,2 {6,3,4}, имеет усеченный октаэдр и шестиугольные ячейки мозаики с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Скошенные соты шестиугольной черепицы порядка 4

Скошенные соты шестиугольной черепицы порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	рр{6,3,4} или т _0,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г{3,4} {}x{4} рр{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты со смещенной шестиугольной мозаикой 4-го порядка , t _0,2 {6,3,4}, имеет кубооктаэдр , куб и ромбитригексагональные ячейки мозаики с клина фигурой вершины .

Скошенные шестиугольные соты порядка 4

Скошенные шестиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	tr{6,3,4} или t _0,1,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{3,4} {}x{4} тр{6,3}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 ^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные шестиугольные соты 4-го порядка , t _0,1,2 {6,3,4}, имеет усеченный октаэдр , куб и усеченные тригексагональные ячейки мозаики с зеркальной клиновидной вершиной .

Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 4

Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{4,3} {}x{4} {6,3} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Стертые соты шестиугольной черепицы 4-го порядка t _0,3 {6,3,4}, имеет куб , шестиугольную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с неправильной антипризмы треугольной фигурой вершины .

Он содержит двумерную гиперболическую ромбитетрагексагональную мозаику rr{4,6}, с квадратными и шестиугольными гранями. Тайлинг также имеет конструкцию полусимметрии. .

	=

Усеченные шестиугольные соты порядка 4

Усеченные шестиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр{3,4} {}x{4} {}х{12} т{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты шестиугольной черепицы 4-го порядка , t _0,1,3 {6,3,4}, имеет ромбокубооктаэдр , куб , двенадцатиугольную призму и усеченные шестиугольные ячейки мозаики, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Шестиугольные соты Runcicantellated порядка 4

— Шестиугольные мозаичные соты четвертого порядка такие же, как кубические соты 6-го порядка .

Всеусеченные шестиугольные соты порядка 4

Всеусеченные шестиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{4,3} тр{6,3} {}х{12} {}x{8}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные шестиугольные соты четвертого порядка , t _0,1,2,3 {6,3,4}, имеет усеченный кубооктаэдр , усеченную тригексагональную мозаику , додекагональную призму и ячейки восьмиугольной призмы с неправильной тетраэдра фигурой вершины .

Шестиугольные соты чередующегося порядка 4

Шестиугольные соты чередующегося порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символы Шлефли	ч{6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3 ^[3]} {3,4}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	усеченный октаэдр
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

Перемежающиеся шестиугольные соты четвертого порядка . ↔ , состоит из треугольной мозаики и октаэдрических ячеек в форме усеченного октаэдра вершины .

Шестиугольная сотовая плитка Cantic order-4

Шестиугольная сотовая плитка Cantic order-4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч ₂ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	ч ₂ {6,3} т{3,4} г{3,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

4 Шестиугольные соты кантического порядка- , ↔ , состоит из тригексагональной мозаики , усеченного октаэдра и кубооктаэдра ячеек клина с фигурой вершины .

Шестиугольная плитка Runcic порядка 4 в сотах

Шестиугольная плитка Runcic порядка 4 в сотах
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч ₃ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3 ^[3]} рр{3,4} {4,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

4 Шестиугольные соты рунического порядка , ↔ , состоит из треугольной мозаики , ромбокубооктаэдра , куба и треугольных призменных ячеек с купола треугольной фигурой вершины .

Шестиугольные соты Runcicantic порядка 4

Шестиугольные соты Runcicantic порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч _2,3 {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	ч ₂ {6,3} тр{3,4} т{4,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

4 Шестиугольные соты рунцикантического порядка , ↔ , состоит из тригексагональной мозаики , усеченного кубооктаэдра , усеченного куба и треугольной призмы ячеек прямоугольной пирамиды с фигурой вершины .

Шестиугольная сотовая плитка четверти порядка-4

Шестиугольная сотовая плитка четверти порядка-4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	д{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3 ^[3]} {3,3} т{3,3} ч ₂ {6,3}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^[]х[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Шестиугольные соты четверти порядка 4 q{6,3,4}, или , состоит из треугольной черепицы , тригексагональной черепицы , тетраэдра и усеченного тетраэдра ячеек купола с треугольной фигурой вершины .

См. также

Ссылки

^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера

[1] Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

[1]