Октаэдрические соты порядка 4

Октаэдрические соты порядка 4
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{3,4,4} {3,4 1,1 }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{3,4}
Лица	треугольник {3}
Краевая фигура	квадрат {4}
Вершинная фигура	квадратная мозаика , {4,4}
Двойной	Квадратные соты для плитки , {4,4,3}
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Обычный

— Октаэдрические соты 4-го порядка это обычные паракомпактные соты в гиперболическом трёхмерном пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет бесконечные фигуры вершин , причем все вершины являются идеальными точками, удаленными на бесконечность. Заданный символом Шлефли {3,4,4}, он имеет четыре идеальных октаэдра вокруг каждого ребра и бесконечные октаэдры вокруг каждой вершины в мозаики квадратной фигуре вершины .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметрия

Конструкция полусимметрии, [3,4,4,1 ⁺ ], существует как {3,4 ^1,1 }, с двумя чередующимися типами (цветами) октаэдрических ячеек: ↔ .

Вторая полусимметрия — это [3,4,1 ⁺ ,4]: ↔ .

Более высокий индекс субсимметрии, [3,4,4 ^* ], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: .

Эти соты содержат и что мозаичные 2- гиперциклические поверхности, подобные паракомпактным треугольным мозаикам бесконечного порядка и , соответственно:

Связанные многогранники и соты

Октаэдрические соты 4-го порядка представляют собой правильные гиперболические соты в трехмерном пространстве и являются одними из одиннадцати правильных паракомпактных сот.

имеется пятнадцать однородных сот В семействе групп [3,4,4] Кокстера , включая эту правильную форму.

[4,4,3] семейные соты

{4,4,3}	г {4,4,3}	т{4,4,3}	рр{4,4,3}	т 0,3 {4,4,3}	тр{4,4,3}	т 0,1,3 {4,4,3}	т 0,1,2,3 {4,4,3}
{3,4,4}	г {3,4,4}	т{3,4,4}	рр{3,4,4}	2т{3,4,4}	тр{3,4,4}	т 0,1,3 {3,4,4}	т 0,1,2,3 {3,4,4}

Это часть последовательности сот с квадратной фигурой вершин:

показывать {p,4,4} соты
Space	E3	H3
Form	Affine	Paracompact		Noncompact
Name	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
Image
Cells	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Это часть последовательности правильных полихор и сот с октаэдрическими ячейками :

показывать {3,4,p} многогранники
Space	S3	H3
Form	Finite	Paracompact	Noncompact
Name	{3,4,3}	{3,4,4}	{3,4,5}	{3,4,6}	{3,4,7}	{3,4,8}	... {3,4,∞}
Image
Vertex figure	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,∞}

Ректифицированные октаэдрические соты порядка 4

Ректифицированные октаэдрические соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г{3,4,4} или т 1 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	г{4,3} {4,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	квадратная призма
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные октаэдрические соты 4-го порядка , t ₁ {3,4,4}, имеет кубооктаэдр и квадратные грани мозаики, а также квадратной призмы фигуру вершины .

Усеченные октаэдрические соты порядка 4

Усеченные октаэдрические соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т{3,4,4} или т 0,1 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т{3,4} {4,4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные октаэдрические соты четвертого порядка , t _0,1 {3,4,4}, имеет усеченный октаэдр и квадратные грани мозаики, а также квадратной пирамиды фигуру вершины .

Двуусеченные октаэдрические соты порядка 4

аналогичны Октаэдрические соты 4-го порядка с усеченными кусочками сотам с квадратными мозаиками с усеченными битами .

Соты октаэдрические соты кантеллированного порядка 4

Соты октаэдрические соты кантеллированного порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	рр{3,4,4} или т 0,2 {3,4,4} с 2 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	рр{3,4} {}x4 г{4,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты октаэдрические соты четвертого порядка , t _0,2 {3,4,4}, имеет ромбокубооктаэдр , куб и квадратные грани мозаики с клина фигурой вершины .

Скошенные октаэдрические соты порядка 4

Скошенные октаэдрические соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	tr{3,4,4} или t 0,1,2 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	тр{3,4} {}x{4} т{4,4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные октаэдрические соты четвертого порядка , t _0,1,2 {3,4,4}, имеет усеченный кубооктаэдр , куб и усеченные квадратные грани мозаики, с зеркальной клиновидной вершиной .

Ранцинированные октаэдрические соты порядка 4

Стержневые октаэдрические соты 4-го порядка аналогичны сеченным квадратным ячеистым сотам .

Октаэдрические соты Runcitусеченного порядка 4

Октаэдрические соты Runcitусеченного порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т 0,1,3 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{3,4} {6}х{} рр{4,4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [3,4,4]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные октаэдрические соты четвертого порядка , t _0,1,3 {3,4,4}, имеет усеченный октаэдр , шестиугольную призму и квадратные грани мозаики, а также квадратной пирамиды фигуру вершины .

Ранциконтеллярные октаэдрические соты 4-го порядка

аналогичны Октаэдрические соты четвертого порядка с продолговатой формой сотам с усеченными квадратными плитками .

Всеусеченные октаэдрические соты порядка 4

Всеусеченные октаэдрические соты 4-го порядка аналогичны всеусеченным квадратным сотам, замощенным плиткой .

Курносый порядок-4 октаэдрические соты

Курносый порядок-4 октаэдрические соты
Тип	Паракомпактные чешуйчатые соты
Символы Шлефли	с{3,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	квадратная плитка икосаэдр квадратная пирамида
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура
Группы Кокстера	[4,4,3 + ] [4 1,1 ,3 + ] [(4,4,(3,3) + )]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Курносые октаэдрические соты четвертого порядка , s{3,4,4}, имеют диаграмму Кокстера. . Это чешуйчатые соты с квадратной пирамидой , квадратной черепицей и икосаэдра гранями .

См. также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

Ссылки

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN   99-35678 , ISBN   0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN   0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
  • Норман В. Джонсон и Азия Ивик Вайс Квадратные целые числа и группы Кокстера PDF Can. Дж. Математика. Том. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336.