Шестиугольная сотовая плитка

Шестиугольная сотовая плитка
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{6,3,3} т{3,6,3} 2т{6,3,6} 2т{6,3 ^[3]} т{3 ^[3,3]}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестигранник {6}
Краевая фигура	треугольник {3}
Вершинная фигура	тетраэдр {3,3}
Двойной	Тетраэдрические соты порядка 6
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {Y}}_{3}$ , [3,6,3] ${\overline {Z}}_{3}$ , [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ , [6,3 ^[3]] ${\overline {PP}}_{3}$ , [3 ^[3,3]]
Характеристики	Обычный

В области гиперболической геометрии шестиугольная мозаика является одной из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат на орисфере — поверхности в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольных сот — {6,3,3}. Поскольку значение шестиугольной мозаики равно {6,3}, в этой соте есть три таких шестиугольных мозаики, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символом Шлефли тетраэдра является {3,3}, вершинной фигурой этой соты является тетраэдр. Таким образом, в каждой вершине этой соты встречаются четыре шестиугольных мозаики, в каждой вершине встречаются шесть шестиугольников и в каждой вершине встречаются четыре ребра. ^[1]

Изображения

Если смотреть в перспективе за пределами модели диска Пуанкаре , изображение выше показывает одну шестиугольную ячейку мозаики внутри сот и ее орисферу среднего радиуса (оросфера, падающая с краевыми средними точками). В этой проекции шестиугольники становятся бесконечно малыми по направлению к бесконечной границе, асимптотически приближаясь к одной идеальной точке. Его можно рассматривать как похожее на апейрогональное замощение 3-го порядка , {∞,3} из H ², с орициклами, описывающими вершины апейрогонов .

{6,3,3}	{∞,3}

Одна шестиугольная ячейка сотовой мозаики	Апейрогон 3-го порядка с зеленым апейрогоном и его орициклом.

Симметричные конструкции

Всего он состоит из пяти отражательных конструкций из пяти связанных групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является правильным: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3 ^[3]] и [3 ^[3,3]] , имеющие в 1, 4, 6, 12 и 24 раза большие фундаментальные домены соответственно . В разметках подгрупп нотации Коксетера они связаны следующим образом: [6,(3,3) ^*] (удалить 3 зеркала, индекс 24 подгруппы); [3,6,3 ^*] или [3 ^*,6,3] (удалить 2 зеркала, индекс 6 подгруппы); [1 ⁺,6,3,6,1 ⁺] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 ^[3,3]]. Кольцевые диаграммы Кокстера: , , , и , представляющие разные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Витгофа .

Связанные многогранники и соты

Шестиугольная мозаика представляет собой правильную гиперболическую соту в трехмерном пространстве и одну из 11 паракомпактных ячеек.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Это одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойником, тетраэдрическими сотами 6-го порядка .

[6,3,3] семейные соты
{6,3,3}	r{6,3,3}	t{6,3,3}	rr{6,3,3}	t_0,3{6,3,3}	tr{6,3,3}	t_0,1,3{6,3,3}	t_0,1,2,3{6,3,3}


{3,3,6}	r{3,3,6}	t{3,3,6}	rr{3,3,6}	2t{3,3,6}	tr{3,3,6}	t_0,1,3{3,3,6}	t_0,1,2,3{3,3,6}

Это часть последовательности правильных полихор , которые включают 5-клеточное {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} и 120-клеточное {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства. наряду с другими гиперболическими сотами, содержащими тетраэдрические вершинные фигуры .

{p,3,3} соты
Space		S³			H³
Form		Finite			Paracompact	Noncompact
Name		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞,3,3}
Image
Coxeter diagrams	1
	4
	6
	12
	24
Cells {p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является частью последовательности правильных сот формы {6,3,p}, каждая из которых состоит из шестиугольных ячеек мозаики:

{6,3,p} соты v т и
Space	H³
Form	Paracompact				Noncompact
Name	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
Image
Vertex figure {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные шестиугольные соты для плитки

Выпрямленные шестиугольные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г{6,3,3} или т ₁ {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,3} г{6,3} или
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные шестиугольные соты мозаики , t ₁ {6,3,3}, имеет тетраэдрические и тригексагональные грани мозаики с треугольной фигурой вершины призмы . полусимметричная конструкция чередует два типа тетраэдров.

Шестиугольная сотовая плитка	Выпрямленные шестиугольные соты для плитки или

Связанные Н ² мозаика
Апейрогональная мозаика порядка 3	Триапейрогональная черепица или

Усеченные шестиугольные соты для плитки

Усеченные шестиугольные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т{6,3,3} или т _0,1 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,3} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	треугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица-соты , t _0,1 {6,3,3}, имеет тетраэдрические и усеченные шестиугольные грани мозаики, с треугольной пирамиды фигурой вершины .

Это похоже на двумерную гиперболическую усеченную апейрогональную мозаику третьего порядка , t{∞,3} с апейрогональными и треугольными гранями:

Разрезанные шестиугольные соты для черепицы

Разрезанные шестиугольные соты для черепицы Двуусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	2т{6,3,3} или т _1,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{3,3} т{3,6}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Битусеченные шестиугольные замощенные соты или битусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t _1,2 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр и шестиугольные ячейки мозаики с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Соты из изогнутых шестиугольных плиток

Соты из изогнутых шестиугольных плиток
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	рр{6,3,3} или т _0,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г{3,3} рр{6,3} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Соты зубчатой шестиугольной черепицы t _0,2 {6,3,3}, имеет октаэдр , ромбитригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с клиновидной вершиной .

Скошенные шестиугольные соты для черепицы

Скошенные шестиугольные соты для черепицы
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	tr{6,3,3} или t _0,1,2 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,3} тр{6,3} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные шестиугольные соты , t _0,1,2 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр , усеченную тригексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с зеркальной клиновидной вершиной .

Стержневые шестиугольные соты для черепицы

Стержневые шестиугольные соты для черепицы
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,3} {6,3} {}×{6} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты черепицы продолговатой шестиугольной формы , t _0,3 {6,3,3}, имеет тетраэдр , шестиугольную мозаику , шестиугольную призму и треугольные ячейки призмы с неправильной антипризмы треугольной фигурой вершины .

Соты из цитрусовых шестиугольных плиток

Соты из цитрусовых шестиугольных плиток
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр{3,3} {}х{3} {}х{12} т{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты из неусеченной шестиугольной черепицы , t _0,1,3 {6,3,3}, имеет кубооктаэдр , треугольную призму , двенадцатиугольную призму и усеченные шестиугольные ячейки мозаики, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Ранцикантеллярные шестиугольные соты для плитки

Ранцикантеллярные шестиугольные соты для плитки неусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,3} {}x{6} рр{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Стыковые шестиугольные черепичные соты или сусечатые тетраэдрические соты 6-го порядка , t _0,2,3 {6,3,3}, имеет усеченный тетраэдр , шестиугольную призму и ромбитригексагональные ячейки замощения, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Всеусеченные шестиугольные соты для плитки

Всеусеченные шестиугольные соты для плитки Всеусеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{3,3} {}x{6} {}х{12} тр{6,3}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные шестиугольные соты или всеусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t _0,1,2,3 {6,3,3}, имеет усеченный октаэдр , шестиугольную призму , додекагональную призму и усеченные тригексагональные ячейки мозаики с неправильной тетраэдра фигурой вершины .

См. также

Ссылки

^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Обычные соты в гиперболическом пространстве , архивировано 10 июня 2016 г. в Wayback Machine ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (главы 16–17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований (1999), Том 4, Выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера , (2002) H ³:стр130. [3]

Внешние ссылки

Джон Баэз , Visual Insight : {6,3,3} Honeycomb (15 марта 2014 г.)
Джон Баэз , Visual Insight : {6,3,3} Соты в верхней половине пространства (15 сентября 2013 г.)
Джон Баэз , Visual Insight : Усеченные соты {6,3,3} (01 декабря 2016 г.)

[1] Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

[1]