Шестиугольная плитка Орден-5 сотовая

Шестиугольная плитка Орден-5 сотовая
Перспективная проекция из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	{6,3,5}
Диаграммы Кокстера-Динкина	↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестигранник {6}
Краевая фигура	пятиугольник {5}
Вершинная фигура	икосаэдр
Двойной	Додекаэдрические соты порядка 6
Группа Коксетера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Обычный

В области гиперболической геометрии гексагональная мозаика пятого порядка возникает как одна из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка состоит из шестиугольной мозаики , вершины которой лежат на орисфере — плоской плоскости в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольных сот пятого порядка — {6,3,5}. Поскольку значение шестиугольной мозаики равно {6,3}, эта сотовая структура имеет пять таких шестиугольных мозаик, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символ Шлефли икосаэдра равен {3,5}, вершинной фигурой этой соты является икосаэдр. Таким образом, в каждой вершине этой соты встречаются 20 шестиугольных мозаик. ^[1]

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметрия

Низкосимметричная конструкция индекса 120, [6,(3,5) ^*], существует с правильными додекаэдрическими фундаментальными областями и икосаэдрической диаграммой Кокстера-Динкина с 6 осевыми ветвями бесконечного порядка (ультрапараллельными).

Изображения

Сота шестиугольной мозаики 5-го порядка аналогична двумерной гиперболической регулярной паракомпактной апейрогональной мозаике 5-го порядка , {∞,5}, с пятью апейрогональными гранями, встречающимися вокруг каждой вершины.

Связанные многогранники и соты

Шестиугольные соты 5-го порядка представляют собой правильные гиперболические соты в трехмерном пространстве и одни из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

имеется 15 однородных сот [6,3,5] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму и ее правильную двойственную форму, додекаэдрические соты 6-го порядка .

[6,3,5] семейные соты
{6,3,5}	г {6,3,5}	т{6,3,5}	рр{6,3,5}	т _0,3 {6.3.5}	тр{6,3,5}	т _0,1,3 {6,3,5}	т _0,1,2,3 {6,3,5}


{5,3,6}	г {5,3,6}	т{5,3,6}	рр{5,3,6}	2т{5,3,6}	тр{5,3,6}	т _0,1,3 {5,3,6}	т _0,1,2,3 {5,3,6}

Шестиугольные соты 5-го порядка имеют родственные соты чередования , представленные ↔ , с икосаэдром и треугольными ячейками мозаики.

Это часть последовательности правильных гиперболических сот формы {6,3,p} с шестиугольными гранями мозаики:

{6,3,p} соты v т и
Space	H³
Form	Paracompact				Noncompact
Name	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
Image
Vertex figure {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с икосаэдрическими вершинными фигурами:

{p,3,5} многогранники
Space	S³	H³
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Ректифицированный сотовый шестигранник порядка 5

Ректифицированный сотовый шестигранник порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г{6,3,5} или т ₁ {6,3,5}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,5} г{6,3} или ч ₂ {6,3}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	пятиугольная призма
Группы Кокстера	${{\overline {HV}}_{3}}$ , [5,3,6] ${{\overline {HP}}_{3}}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные соты шестиугольной мозаики пятого порядка , t ₁ {6,3,5}, имеет икосаэдр и тригексагональные грани мозаики с пятиугольной призмы фигурой вершины .

Он похож на двумерную гиперболическую квадратную мозаику бесконечного порядка r{∞,5} с пятиугольными и апейрогональными гранями. Все вершины находятся на идеальной поверхности.

г{р,3,5}
Космос	С ³	ЧАС ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	г {3,3,5}	г {4,3,5}	г {5,3,5}	г {6,3,5}	г {7,3,5}	... г{∞,3,5}
Изображение
Клетки {3,5}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные соты шестиугольной черепицы порядка 5

Усеченные соты шестиугольной черепицы порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т{6,3,5} или т _0,1 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	пятиугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты шестиугольной мозаики пятого порядка , t _0,1 {6,3,5}, имеет икосаэдр и усеченные шестиугольные грани мозаики, с пятиугольной пирамиды фигурой вершины .

Усеченные шестиугольные соты порядка 5

Усеченные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	2т{6,3,5} или т _1,2 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т{3,6} т{3,5}
Лица	пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты пятого порядка , t _1,2 {6,3,5}, имеет шестиугольную черепицу и усеченные грани икосаэдра с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Скошенные соты шестиугольной черепицы порядка 5

Скошенные соты шестиугольной черепицы порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	рр{6,3,5} или т _0,2 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г{3,5} рр{6,3} {}х{5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты со смещенной шестиугольной мозаикой порядка 5 , t _0,2 {6,3,5}, имеет икосододекаэдр , ромбитригексагональную мозаику и грани пятиугольной призмы с клиновидной вершиной .

Скошенные шестиугольные соты порядка 5

Скошенные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	тр{6,3,5} или т _0,1,2 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,5} тр{6,3} {}х{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные шестиугольные соты 5-го порядка , t _0,1,2 {6,3,5}, имеет усеченный икосаэдр , усеченную тригексагональную мозаику и грани пятиугольной призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 5

Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,3 {6.3.5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{6,3} {5,3} {}x{6} {}х{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты шестиугольной черепицы с прорезями 5-го порядка , t _0,3 {6,3,5}, имеет додекаэдр , шестиугольную мозаику , пятиугольную призму и грани шестиугольной призмы с неправильной антипризмы треугольной фигурой вершины .

Усеченные шестиугольные соты порядка 5

Усеченные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,3 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{6,3} рр{5,3} {}х{5} {}х{12}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Сотовая структура шестиугольной черепицы 5-го порядка , t _0,1,3 {6,3,5}, имеет усеченную шестиугольную черепицу , ромбикосидодекаэдр , пятиугольную призму и ячейки додекагональной призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Шестиугольные соты Runcicantellated порядка 5

Шестиугольные мозаичные соты 5-го порядка являются такими же, как и додекаэдральные соты 6-го порядка .

Всеусеченные шестиугольные соты порядка 5

Всеусеченные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{6,3} тр{5,3} {}х{10} {}х{12}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные шестиугольные соты 5-го порядка , t _0,1,2,3 {6,3,5}, имеет усеченную тригексагональную мозаику , усеченный икосододекаэдр , десятиугольную призму и грани додекагональной призмы с неправильной тетраэдрической фигурой вершины .

Шестиугольные соты чередующегося порядка 5

Шестиугольные соты чередующегося порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символ Шлефли	ч{6,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3 ^[3]} {3,5}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	усеченный икосаэдр
Группы Кокстера	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

Перемежающиеся шестиугольные соты 5-го порядка , h{6,3,5}, ↔ , имеет треугольную мозаику и грани икосаэдра , с икосаэдра усеченной фигурой вершины . Это квазирегулярные соты .

Шестиугольная плитка Cantic order-5 в сотах

Шестиугольная плитка Cantic order-5 в сотах
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч ₂ {6,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	ч ₂ {6,3} т{3,5} г{5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Шестиугольные соты кантического порядка 5 h ₂ {6,3,5}, ↔ , имеет тригексагональную мозаику , усеченный икосаэдр и грани икосододекаэдра с треугольной фигурой вершины призмы .

Шестиугольная плитка Runcic порядка 5 в сотах

Шестиугольная плитка Runcic порядка 5 в сотах
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч ₃ {6,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3 ^[3]} рр{5,3} {5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Шестиугольные соты рунического порядка 5 h ₃ {6,3,5}, ↔ , имеет треугольную мозаику , ромбикосидодекаэдр , додекаэдр и треугольные грани призмы , с купола треугольной фигурой вершины .

Шестиугольные соты Runcicantic порядка 5

Шестиугольные соты Runcicantic порядка 5
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч _2,3 {6,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	ч ₂ {6,3} тр{5,3} т{5,3} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Сотовая шестиугольная черепица ранцикантического порядка 5 h _2,3 {6,3,5}, ↔ , имеет тригексагональную мозаику , усеченный икосододекаэдр , усеченный додекаэдр и треугольные грани призмы с прямоугольной пирамиды фигурой вершины .

См. также

Ссылки

^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера

[1] Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

[1]