Додекаэдрические соты порядка 6

Додекаэдрические соты порядка 6
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	{5,3,6} {5,3 ^[3]}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{5,3}
Лица	пятиугольник {5}
Краевая фигура	шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная плитка
Двойной	Шестиугольная плитка Орден-5 сотовая
Группа Коксетера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

— Додекаэдрические соты 6-го порядка одна из 11 паракомпактных правильных сот в гиперболическом трёхмерном пространстве . Он паракомпактный , поскольку имеет фигуры вершин, состоящие из бесконечного числа граней, причем все вершины представляют собой идеальные точки, находящиеся на бесконечности. Он имеет символ Шлефли {5,3,6} с шестью идеальными додекаэдрическими ячейками, окружающими каждый край сот. Каждая вершина идеальна и окружена бесконечным множеством додекаэдров. Соты имеют треугольную фигуру вершин .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметрия

Конструкция полусимметрии существует как с попеременно окрашенными додекаэдрическими клетками.

Изображения

Модель центрирована по ячейкам внутри модели диска Пуанкаре , при этом точка обзора затем помещается в начало координат.

Додекаэдрические соты 6-го порядка аналогичны двумерной гиперболической пятиугольной мозаике бесконечного порядка , {5,∞}, с пятиугольными гранями и вершинами на идеальной поверхности.

Связанные многогранники и соты

Додекаэдрические соты 6-го порядка представляют собой правильные гиперболические соты в трехмерном пространстве и одни из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

имеется 15 однородных сот [5,3,6] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму и ее правильную двойственную форму, шестиугольную мозаику пятого порядка .

[6,3,5] семейные соты
{6,3,5}	г {6,3,5}	т{6,3,5}	рр{6,3,5}	т _0,3 {6.3.5}	тр{6,3,5}	т _0,1,3 {6,3,5}	т _0,1,2,3 {6,3,5}


{5,3,6}	г {5,3,6}	т{5,3,6}	рр{5,3,6}	2т{5,3,6}	тр{5,3,6}	т _0,1,3 {5,3,6}	т _0,1,2,3 {5,3,6}

Додекаэдрические соты 6-го порядка являются частью последовательности правильных полихор и сот с треугольными фигурами вершин мозаики :

Гиперболические однородные соты : {p,3,6}
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является частью последовательности правильных многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,p} многогранники
Space	S³	H³
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 6

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	г {5,3,6} т ₁ {5,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	г{5,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные додекаэдрические соты 6-го порядка , t ₁ {5,3,6}, имеют икосододекаэдр и треугольные ячейки мозаики, соединенные в шестиугольной призмы вершинную фигуру .

Перспективная проекция в модели диска Пуанкаре

Он похож на двумерную гиперболическую пентаапейрогональную мозаику r{5,∞} с пятиугольными и апейрогональными гранями.

г{р,3,6}
v
т
и
Космос	ЧАС ³
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	г {3,3,6}	г {4,3,6}	г {5,3,6}	г {6,3,6}	г {7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т{5,3,6} т _0,1 {5,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{5,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты 6-го порядка , t _0,1 {5,3,6}, имеют усеченный додекаэдр и треугольные ячейки мозаики, соединенные в шестиугольной пирамиды вершинную фигуру .

Двуусеченные додекаэдрические соты порядка 6

Додекаэдрические соты 6-го порядка с усеченными битами аналогичны сотам с гексагональной мозаикой 5-го порядка .

Скошенные додекаэдрические соты порядка 6

Скошенные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	рр{5,3,6} т _0,2 {5,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	рр{5,3} рр{6,3} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты со складчатыми додекаэдрами 6-го порядка , t _0,2 {5,3,6}, имеют ромбикосидодекаэдр , тригексагональную мозаику и шестиугольной призмы ячейки с клиновидной вершиной.

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 6

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	тр{5,3,6} т _0,1,2 {5,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	тр{5,3} т{3,6} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантиусеченные додекаэдрические соты 6-го порядка , t _0,1,2 {5,3,6}, имеют усеченный икосододекаэдр , шестиугольную мозаику и грани шестиугольной призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Ранцинированные додекаэдрические соты порядка 6

Срезанные додекаэдрические соты 6-го порядка аналогичны сеченным сотам с шестиугольной черепицей 5-го порядка .

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 6

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т _0,1,3 {5,3,6}
Диаграммы Кокстера
Клетки	т{5,3} рр{6,3} {}х{10} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты 6-го порядка , t _0,1,3 {5,3,6}, имеют усеченный додекаэдр , ромбитригексагональную мозаику , десятиугольную призму и грани шестиугольной призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Додекаэдрические соты ранциконтеллярного порядка 6

аналогичны Додекаэдрические соты 6-го порядка с ранцикантелляцией сотам с гексагональной черепицей 5-го порядка .

Всеусеченные додекаэдрические соты порядка 6

Всеусеченные додекаэдрические соты 6-го порядка аналогичны всеусеченным шестиугольным мозаичным сотам 5-го порядка .

См. также

Ссылки

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера