Тетраэдрические соты порядка 6

Тетраэдрические соты порядка 6
Перспективная проекция в рамках модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{3,3,6} {3,3 ^[3]}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,3}
Лица	треугольник {3}
Краевая фигура	шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольная плитка
Двойной	Шестиугольная сотовая плитка
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

В гиперболическом трехмерном пространстве представляют тетраэдрические соты 6-го порядка собой паракомпактную правильную мозаику , заполняющую пространство (или соты ). Он паракомпактный , поскольку имеет фигуры вершин, состоящие из бесконечного числа граней, и все вершины являются идеальными точками на бесконечности. С символом Шлефли {3,3,6} тетраэдрические соты 6-го порядка имеют шесть идеальных тетраэдров вокруг каждого края. Все вершины идеальны , и вокруг каждой вершины существует бесконечное количество тетраэдров в , замощенной мозаикой треугольной фигуре вершины . ^{[ 1 ]}

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметричные конструкции

Тетраэдрические соты 6-го порядка имеют вторую конструкцию как однородные соты с символом Шлефли {3,3. ^[3]}. Эта конструкция содержит чередующиеся типы или цвета тетраэдрических ячеек. В обозначениях Кокстера эта полусимметрия представлена как [3,3,6,1 ⁺] ↔ [3,((3,3,3))], или [3,3 ^[3]]: ↔ .

Связанные многогранники и соты

Тетраэдрические соты 6-го порядка аналогичны двумерной треугольной мозаике бесконечного порядка {3,∞}. Обе мозаики являются правильными и содержат только треугольники и идеальные вершины.

Тетраэдрические соты 6-го порядка также являются правильными гиперболическими сотами в трехмерном пространстве и одними из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Эта сотовая структура является одной из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойником, шестиугольной черепичной сотой .

[6,3,3] семейные соты
{6,3,3}	r{6,3,3}	t{6,3,3}	rr{6,3,3}	t_0,3{6,3,3}	tr{6,3,3}	t_0,1,3{6,3,3}	t_0,1,2,3{6,3,3}


{3,3,6}	r{3,3,6}	t{3,3,6}	rr{3,3,6}	2t{3,3,6}	tr{3,3,6}	t_0,1,3{3,3,6}	t_0,1,2,3{3,3,6}

Тетраэдрические соты 6-го порядка являются частью последовательности правильных полихор и сот с тетраэдрическими ячейками .

{3,3,p} многогранники
Space	S³			H³
Form	Finite			Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Это также часть последовательности сот с треугольными фигурами вершин .

Гиперболические однородные соты : {p,3,6} и {p,3 ^[3]}
v
т
и
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6} {3,3 ^[3]}	{4,3,6} {4,3 ^[3]}	{5,3,6} {5,3 ^[3]}	{6,3,6} {6,3 ^[3]}	{7,3,6} {7,3 ^[3]}	{8,3,6} {8,3 ^[3]}	... {∞,3,6} {∞,3 ^[3]}

Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Ректифицированные тетраэдрические соты порядка 6

Ректифицированные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символы Шлефли	г{3,3,6} или т ₁ {3,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	г{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные тетраэдрические соты 6-го порядка , t ₁ {3,3,6}, имеют октаэдрические и треугольные ячейки мозаики, расположенные в виде шестиугольной призмы вершины .

Перспективная проекция в модели диска Пуанкаре

г{р,3,6}
v
т
и
Космос	ЧАС ³
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	г {3,3,6}	г {4,3,6}	г {5,3,6}	г {6,3,6}	г {7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т{3,3,6} или т _0,1 {3,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t _0,1 {3,3,6}, имеют усеченный тетраэдр и треугольные ячейки мозаики, расположенные в виде шестиугольной пирамиды вершинной фигуры .

Двуусеченные тетраэдрические соты порядка 6

Тетраэдрические соты 6-го порядка с усеченными кусочками эквивалентны сотам с усеченными гексагональными мозаиками .

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	рр{3,3,6} или т _0,2 {3,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	г{3,3} г{3,6} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	равнобедренная треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантеллированные тетраэдрические соты 6-го порядка , t _0,2 {3,3,6}, имеют кубооктаэдр , тригексагональную мозаику и ячейки шестиугольной призмы , расположенные в форме равнобедренной треугольной призмы вершины .

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	tr{3,3,6} или t _0,1,2 {3,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	тр{3,3} т{3,6} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] ${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантиусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка , t _0,1,2 {3,3,6}, имеют усеченный октаэдр , шестиугольную мозаику и ячейки шестиугольной призмы , соединенные в зеркальную клиновидную вершинную фигуру .

Стержневые тетраэдрические соты порядка 6

Тетраэдрические соты 6-го порядка с усеченными кусочками эквивалентны сотам с усеченными гексагональными мозаиками .

Тетраэдрические соты Runcitусеченного порядка 6

Тетраэдрические соты 6-го порядка с усеченными краями эквивалентны сотам с гексагональной черепицей с усеченными усеченными элементами .

Ранциконтеллярные тетраэдрические соты 6-го порядка

эквивалентны Тетраэдрические соты 6-го порядка с усеченной формой сотам с усеченной шестиугольной черепицей .

Всеусеченные тетраэдрические соты порядка 6

Всеусеченные тетраэдрические соты 6-го порядка эквивалентны всеусеченным шестиугольным мозаичным сотам .

См. также

Ссылки

^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера

[1] Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

[ 1 ]