Квадратная сотовая плитка

См. Также: Соты для квадратной плитки порядка 4.

Квадратная сотовая плитка
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{4,4,3} г {4,4,4} {4 1,1,1 }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{4,4}
Лица	квадрат {4}
Краевая фигура	треугольник {3}
Вершинная фигура	куб , {4,3}
Двойной	Октаэдрические соты порядка 4
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3] ${\overline {N}}_{3}$, [4 3 ] ${\overline {M}}_{3}$, [4 1,1,1 ]
Характеристики	Обычный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства квадратная мозаика является одной из 11 паракомпактных правильных сот. Он называется паракомпактным , потому что имеет бесконечные ячейки , вершины которых существуют на орисферах и сходятся в единственной идеальной точке на бесконечности. Задаваемый символом Шлефли {4,4,3}, он имеет три квадратных мозаики {4,4} вокруг каждого ребра и шесть квадратных мозаик вокруг каждой вершины в кубической {4,3} фигуре вершин .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Исправленная квадратная плитка порядка 4

Его также можно рассматривать как выпрямленные квадратные соты четвертого порядка, r{4,4,4}:

{4,4,4}	г {4,4,4} = {4,4,3}
	=

Симметрия

Квадратные соты из плитки имеют три отражающие конструкции симметрии: как обычные соты, полусимметричная конструкция ↔ и, наконец, конструкция с тремя типами (цветами) клетчатых квадратных мозаик ↔ .

Он также содержит подгруппу индекса 6 [4,4,3 ^* ] ↔ [4 ^1,1,1 ] и радиальная подгруппа [4,(4,3) ^* ] индекса 48, с прямоугольным октаэдрическим фундаментальным доменом и четырьмя парами ультрапараллельных зеркал: .

Эти соты содержат что мозаичные 2- гиперциклические поверхности подобны паракомпактному апейрогональному замощению третьего порядка. :

Связанные многогранники и соты

Квадратная мозаика представляет собой правильную гиперболическую соту в трехмерном пространстве. Это одна из одиннадцати обычных паракомпактных сот.

имеется пятнадцать однородных сот [4,4,3] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму и двойственную , ей октаэдрическую соту четвертого порядка {3,4,4}.

[4,4,3] семейные соты

{4,4,3}	г {4,4,3}	т{4,4,3}	рр{4,4,3}	т 0,3 {4,4,3}	тр{4,4,3}	т 0,1,3 {4,4,3}	т 0,1,2,3 {4,4,3}
{3,4,4}	г {3,4,4}	т{3,4,4}	рр{3,4,4}	2т{3,4,4}	тр{3,4,4}	т 0,1,3 {3,4,4}	т 0,1,2,3 {3,4,4}

Квадратные соты для плитки являются частью семейства сот для квадратных плиток 4-го порядка , поскольку их можно рассматривать как выпрямленные соты для квадратных плиток 4-го порядка.

Это связано с 24-ячейкой {3,4,3}, которая также имеет кубическую вершинную фигуру.Он также является частью последовательности сот с квадратными ячейками:

показывать {4,4,p} соты
Space	E3	H3
Form	Affine	Paracompact		Noncompact
Name	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
Coxeter
Image
Vertex figure	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

Ректифицированные квадратные соты для плитки

Ректифицированные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символы Шлефли	r{4,4,3} или t 1 {4,4,3} 2р{3,4 1,1 } г{4 1,1,1 }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{4,3} г{4,4}
Лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3] ${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ] ${\overline {M}}_{3}$, [4 1,1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные квадратные соты черепицы , t ₁ {4,4,3}, имеет кубические и квадратные грани мозаики с треугольной фигурой вершины призмы .

Он похож на двумерную гиперболическую равномерную триапейрогональную мозаику r{∞,3} с треугольниками и апейрогональными гранями.

Усеченные квадратные соты для плитки

Усеченные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	t{4,4,3} или t 0,1 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔
Клетки	{4,3} т{4,4}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	треугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3] ${\overline {N}}_{3}$, [4 3 ] ${\overline {M}}_{3}$, [4 1,1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные квадратные соты , t{4,4,3}, имеет кубические и усеченные квадратные грани мозаики, а также треугольной пирамиды фигуру вершины . Это то же самое, что и усеченные квадратные соты четвертого порядка , tr{4,4,4}, .

Усеченные квадратные соты для плитки

Усеченные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	2т{4,4,3} или т 1,2 {4,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{4,3} т{4,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные квадратные соты , 2t{4,4,3}, имеет усеченный куб и усеченные квадратные грани мозаики, а также дисфеноида двуугольную фигуру вершины .

Кантелеллированные квадратные соты для плитки

Кантелеллированные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	rr{4,4,3} или t 0,2 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	г{4,3} рр{4,4} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	равнобедренная треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Зубчатые квадратные соты , rr{4,4,3}, имеет кубооктаэдр , квадратную мозаику и треугольные грани призмы равнобедренной треугольной призмы , а также фигуру вершины .

Скошенные квадратные соты для плитки

Скошенные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	tr{4,4,3} или t 0,1,2 {4,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{4,3} тр{4,4} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренная треугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные квадратные соты , tr{4,4,3}, имеет усеченный куб , усеченную квадратную мозаику и треугольные грани призмы равнобедренной треугольной пирамиды , а также фигуру вершины .

Стержневые квадратные соты для плитки

Стержневые квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т 0,3 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,4} {4,4} {}x{4} {}х{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Сотовый черепичный прорезной квадрат , t _0,3 {4,4,3}, имеет октаэдр , треугольную призму , куб и квадратные грани мозаики, с неправильной антипризмы треугольной фигурой вершины .

Сотовая плитка из рыхлых усеченных квадратов

Сотовая плитка из рыхлых усеченных квадратов
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т 0,1,3 {4,4,3} с 2,3 {3,4,4}
Диаграммы Кокстера
Клетки	рр{4,3} т{4,4} {}х{3} {}x{8}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

, Соты из неусеченной квадратной черепицы t _0,1,3 {4,4,3}, имеет ромбокубооктаэдр , восьмиугольную призму , треугольную призму и усеченные квадратные грани замощения, с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .

Рансикантеллярные квадратные соты для плитки

Сотовые квадратные плиточные соты с продолговатой формой аналогичны октаэдрическим сотам четвертого порядка с усеченными краями .

Всеусеченные квадратные соты для плитки

Всеусеченные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {4,4,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{4,4} {}x{6} {}x{8} тр{4,3}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {R}}_{3}$, [4,4,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные квадратные соты , t _0,1,2,3 {4,4,3}, имеет усеченную квадратную мозаику , усеченный кубооктаэдр , шестиугольную призму и грани восьмиугольной призмы , с неправильной тетраэдра фигурой вершины .

Omnisnub квадратная сотовая плитка

Omnisnub квадратная сотовая плитка
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч(т 0,1,2,3 {4,4,3})
Диаграмма Кокстера
Клетки	ср{4,4} ср{2,3} ср{2,4} ср{4,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группа Коксетера	[4,4,3] +
Характеристики	Неоднородный, вершинно-транзитивный

Перемежающиеся соты из омниусеченной квадратной мозаики (или соты из омнисубской квадратной мозаики ), h(t _0,1,2,3 {4,4,3}), имеет курносую квадратную мозаику , курносый куб , треугольную антипризму , квадратную антипризму и ячейки тетраэдра с неправильной тетраэдра фигурой вершины .

Чередование квадратных сот для плитки

Чередование квадратных сот для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символ Шлефли	ч{4,4,3} час {4,4,4} {(4,3,3,4)} ч{4 1,1,1 }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{4,4} {4,3}
Лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	кубооктаэдр
Группы Кокстера	${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ] [4,1 + ,4,4] ↔ [∞,4,4,∞] ${\widehat {BR}}_{3}$, [(4,4,3,3)] [1 + ,4 1,1,1 ] ↔ [∞ [6] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

Перемежающиеся квадратные соты , h{4,4,3}, представляет собой квазирегулярную паракомпактную однородную соту в гиперболическом трехмерном пространстве. Он имеет кубические и квадратные грани мозаики в вершинной фигуре кубооктаэдра .

Cantic квадратная плитка в виде сот

Cantic квадратная плитка в виде сот
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч 2 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{4,4} г{4,3} т{4,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантическая квадратная черепица-соты , h ₂ {4,4,3}, представляет собой паракомпактную однородную соту в гиперболическом трехмерном пространстве. Он имеет усеченную квадратную мозаику , усеченный куб и грани кубооктаэдра с прямоугольной пирамиды фигурой вершины .

Квадратные соты Runcic для плитки

Квадратные соты Runcic для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч 3 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{4,4} г{4,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	квадрат усеченный
Группы Кокстера	${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Руничная квадратная черепица-соты , h ₃ {4,4,3}, представляет собой паракомпактную однородную соту в гиперболическом трехмерном пространстве. Он имеет квадратную черепицу , ромбокубооктаэдр и грани октаэдра в квадрата фигуре вершины усеченного .

Квадратные соты Runcicantic для плитки

Квадратные соты Runcicantic для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	ч 2,3 {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{4,4} тр{4,3} т{3,4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {O}}_{3}$, [3,4 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Рунические квадратные соты для плитки , h _2,3 {4,4,3}, ↔ , представляет собой паракомпактную однородную соту в гиперболическом трехмерном пространстве. Он имеет усеченную квадратную мозаику , усеченный кубооктаэдр и усеченные грани октаэдра в зеркальной фигуре вершин клиновидной кости .

Чередованные выпрямленные квадратные соты для плитки

Чередованные выпрямленные квадратные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символ Шлефли	час {4,4,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки
Лица
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Кокстера	[4,1 + ,4,3] = [∞,3,3,∞]
Характеристики	Несимплектический, вершинно-транзитивный

Соты с чередующимися выпрямленными квадратами представляют собой паракомпактные однородные соты в гиперболическом трехмерном пространстве.

См. также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

Ссылки

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN   99-35678 , ISBN   0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN   0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
  • Норман В. Джонсон и Азия Ивик Вайс Квадратные целые числа и группы Кокстера PDF Can. Дж. Математика. Том. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336.