Заказать-4 квадратные соты для плитки

Заказать-4 квадратные соты для плитки

Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	{4,4,4} ч{4,4,4} ↔ {4,4 ^1,1} {4 ^[4]}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{4,4}
Лица	квадрат {4}
Краевая фигура	квадрат {4}
Вершинная фигура	квадратная мозаика , {4,4}
Двойной	Самодвойственный
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4] ${\overline {M}}_{3}$ , [4 ^1,1,1] ${\widehat {RR}}_{3}$ , [4 ^[4]]
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

В геометрии гиперболического трехмерного пространства является квадратная мозаика сот четвертого порядка одной из 11 паракомпактных правильных сот. Он паракомпактный , поскольку имеет бесконечные ячейки и фигуры вершин , причем все вершины являются идеальными точками, удаленными на бесконечность. Заданный символом Шлефли {4,4,4}, он имеет четыре квадратных мозаики вокруг каждого края и бесконечные квадратные мозаики вокруг каждой вершины в квадратной мозаики фигуре вершины . ^{[ 1 ]}

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметрия

Квадратные соты четвертого порядка имеют множество отражающих конструкций симметрии: как обычные соты, ↔ с чередованием типов (цветов) квадратных мозаик и с 3 типами (цветами) квадратных мозаик в соотношении 2:1:1.

Еще две конструкции полусимметрии с пирамидальными областями имеют [4,4,1 ⁺,4] симметрия: ↔ , и ↔ .

Выделяют две подгруппы с высоким индексом, обе с индексом 8: [4,4,4 ^*] ↔ [(4,4,4,4,1 ⁺)], с пирамидальной фундаментальной областью: [((4,∞,4)),((4,∞,4))] или ; и [4,4 ^*,4], с четырьмя ортогональными наборами ультрапараллельных зеркал в октаэдрической фундаментальной области: .

Изображения

Сота квадратной мозаики порядка 4 аналогична двумерной гиперболической апейрогональной мозаике бесконечного порядка , {∞, ∞}, с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.

Он содержит и что мозаичные 2- гиперциклические поверхности, подобные этим паракомпактным апейрогональным мозаикам четвертого порядка :

Связанные многогранники и соты

Квадратные соты четвертого порядка представляют собой обычные гиперболические соты в трехмерном пространстве. Это одна из одиннадцати обычных паракомпактных сот.

11 паракомпактных стандартных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

[4,4,4] имеется девять однородных сот В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму.

[4,4,4] семейные соты
{4,4,4}	r{4,4,4}	t{4,4,4}	rr{4,4,4}	t_0,3{4,4,4}	2t{4,4,4}	tr{4,4,4}	t_0,1,3{4,4,4}	t_0,1,2,3{4,4,4}

Это часть последовательности сот с квадратной фигурой вершин:

{p,4,4} соты v т и
Space	E³	H³
Form	Affine	Paracompact		Noncompact
Name	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
Image
Cells	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Это часть последовательности сот с квадратными ячейками:

{4,4,p} соты v т и
Space	E³	H³
Form	Affine	Paracompact		Noncompact
Name	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
Coxeter
Image
Vertex figure	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

Это часть последовательности квазиправильных полихор и сот:

Квазирегулярная полихора и соты: h{4,p,q}
Space	Finite	Affine	Compact	Paracompact
Schläfli symbol	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Schläfli symbol	$\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{5 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{6 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 4}\right\}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
Coxeter diagram	↔					↔
Image
Vertex figure r{p,3}

Ректифицированные соты для плитки порядка 4 квадратов

Ректифицированные соты для плитки порядка 4 квадратов
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	r{4,4,4} или t ₁ {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{4,4} г{4,4}
Лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	куб
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4] ${\overline {M}}_{3}$ , [4 ^1,1,1]
Характеристики	Квазирегулярный или регулярный, в зависимости от симметрии.

Выпрямленные соты шестиугольной мозаики 4-го порядка , t ₁ {4,4,4}, имеет квадратные грани мозаики с кубической фигурой вершин . Это то же самое, что и обычные квадратные соты для плитки , {4,4,3}, .

Усеченные соты для квадратной плитки порядка 4

Усеченные соты для квадратной плитки порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	t{4,4,4} или t _0,1 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{4,4} т{4,4}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4] ${\overline {M}}_{3}$ , [4 ^1,1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные соты квадратной мозаики 4-го порядка , t _0,1 {4,4,4}, имеет квадратную мозаику и усеченные квадратные грани мозаики с квадратной пирамиды фигурой вершины .

Усеченные квадратные соты порядка 4

Усеченные квадратные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	2т{4,4,4} или т _1,2 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т{4,4}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	тетрагональный дисфеноид
Группы Кокстера	$2\times {\overline {N}}_{3}$ , [[4,4,4]] ${\overline {M}}_{3}$ , [4 ^1,1,1] ${\widehat {RR}}_{3}$ , [4 ^[4]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, клеточно-транзитивный

Усеченные квадратные соты 4-го порядка , t _1,2 {4,4,4}, имеет усеченные квадратные грани мозаики с дисфеноида тетрагональной фигурой вершины .

Скошенные соты квадратного порядка 4-го порядка

Скошенные соты квадратного порядка 4-го порядка
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	rr{4,4,4} или t _0,2 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера
Клетки	{}x{4} г{4,4} рр{4,4}
Лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4] ${\overline {R}}_{3}$ , [3,4,4]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Зубчатые соты квадратной плитки порядка 4 , это то же самое, что и выпрямленные квадратные соты для плитки , . Он имеет кубические и квадратные грани мозаики, а также треугольную фигуру вершины призмы .

Усеченные соты квадратного порядка 4-го порядка

Усеченные соты квадратного порядка 4-го порядка
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	tr{4,4,4} или t _0,1,2 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{}x{4} тр{4,4} т{4,4}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4] ${\overline {R}}_{3}$ , [3,4,4] ${\overline {M}}_{3}$ , [4 ^1,1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные квадратные соты порядка 4 , то же самое, что усеченные квадратные соты для плитки , . Он содержит кубические и усеченные квадратные грани мозаики с зеркальной фигурой клиновидной вершины.

Это то же самое, что усеченные квадратные соты для черепицы , .

Квадратные соты для плитки с прорезями порядка 4

Квадратные соты для плитки с прорезями порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т _0,3 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔
Клетки	{4,4} {}x{4}
Лица	квадрат {4}
Вершинная фигура	квадратная антипризма
Группы Кокстера	$2\times {\overline {N}}_{3}$ , [[4,4,4]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

, Стертые соты квадратной черепицы 4-го порядка t _0,3 {4,4,4}, имеет квадратную мозаику и куба грани антипризмы , а также квадратную фигуру вершины .

Усеченные квадратные соты порядка 4

Усеченные квадратные соты порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т _0,1,3 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{4,4} рр{4,4} {}x{4} {8}х{}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {N}}_{3}$ , [4,4,4]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные квадратные соты четвертого порядка , t _0,1,3 {4,4,4}, имеет квадратную мозаику , усеченную квадратную мозаику , куб и восьмиугольной призмы грани квадратной пирамиды , а также фигуру вершины .

Ситечкообразные квадратные соты 4-го порядка эквивалентны сеченно-усеченным квадратным сотам 4-го порядка.

Всеусеченные соты квадратной плитки порядка 4

Всеусеченные соты квадратной плитки порядка 4
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	т _0,1,2,3 {4,4,4}
Диаграммы Кокстера
Клетки	тр{4,4} {8}х{}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	двуугольный дисфеноид
Группы Кокстера	$2\times {\overline {N}}_{3}$ , [[4,4,4]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные квадратные соты четвертого порядка , t _0,1,2,3 {4,4,4}, имеет усеченную квадратную мозаику и восьмиугольные грани призмы с дисфеноида двуугольной фигурой вершины .

Чередование квадратных сот для плитки чередующегося порядка 4

представляют Перемежающиеся соты с квадратной мозаикой 4-го порядка собой конструкцию с более низкой симметрией самой соты с квадратной мозаикой 4-го порядка.

Cantic order-4 квадратные соты для плитки

Кантические соты с квадратной мозаикой 4-го порядка представляют собой конструкцию с более низкой симметрией усеченных сот с квадратной мозаикой 4-го порядка .

Рунчицкий порядок-4 квадратных сотовых плитки

Рунические соты с квадратной мозаикой 4-го порядка представляют собой конструкцию с более низкой симметрией сот с квадратной мозаикой 3-го порядка .

Квадратные соты Runcicantic порядка 4

Рунцикантические соты с квадратной мозаикой 4-го порядка представляют собой конструкцию с более низкой симметрией усеченных сот с квадратной мозаикой 4-го порядка .

Четверть порядка - 4 квадратных сота для плитки

Четверть порядка - 4 квадратных сота для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	д{4,4,4}
Диаграммы Кокстера
Клетки	т{4,4} {4,4}
Лица	квадрат {4} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	квадратная антипризма
Группы Кокстера	${\widehat {RR}}_{3}$ , [4 ^[4]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

, Квадратные соты четверти порядка 4 q{4,4,4}, , или , имеет усеченную квадратную мозаику и квадратные фасеты мозаики, с антипризмы квадратной фигурой вершины .

См. также

Ссылки

^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
- Норман В. Джонсон и Азия Ивик Вайс Квадратные целые числа и группы Кокстера PDF Can. Дж. Математика. Том. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336.

[1] Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III

[ 1 ]