Идеальный треугольник

Три идеальных треугольника в модели диска Пуанкаре образуют идеальный пятиугольник.

Два идеальных треугольника в модели полуплоскости Пуанкаре

В гиперболической геометрии идеальный треугольник — это гиперболический треугольник , все три вершины которого являются идеальными точками . Идеальные треугольники также иногда называют тройными асимптотическими треугольниками или тройными асимптотическими треугольниками . Вершины иногда называют идеальными вершинами . Все идеальные треугольники конгруэнтны .

Характеристики

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны друг другу.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник — это самый большой треугольник, возможный в гиперболической геометрии.

В стандартной гиперболической плоскости (поверхность, где постоянная гауссова кривизна равна −1) мы также обладаем следующими свойствами:

• Любой идеальный треугольник имеет площадь π.

Расстояния в идеальном треугольнике

Размеры, относящиеся к идеальному треугольнику и вписанной в него окружности, изображенные в модели Бельтрами – Клейна (слева) и модели диска Пуанкаре (справа).

• радиус Вписанная в идеальный треугольник окружность имеет

$r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=$$=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549$ .

Расстояние от любой точки треугольника до ближайшей стороны треугольника меньше или равно радиусу r, указанному выше, с равенством только для центра вписанной окружности.

• Вписанная окружность пересекается с треугольником в трех точках касания, образуя равносторонний контактный треугольник с длиной стороны $d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962$ где $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение .

Окружность радиуса d вокруг точки внутри треугольника встретит или пересечет как минимум две стороны треугольника.

• Расстояние от любой точки стороны треугольника до другой стороны треугольника равно или меньше $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$, с равенством только для описанных выше точек касания.

a также является высотой треугольника Швейкарта .

Состояние тонкого треугольника

Условие δ-тонкого треугольника, используемое в δ-гиперболическом пространстве.

Поскольку идеальный треугольник является максимально возможным треугольником в гиперболической геометрии, приведенные выше меры являются максимально возможными для любого гиперболического треугольника , этот факт важен при изучении δ-гиперболического пространства .

Модели

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальный треугольник ограничен тремя окружностями, пересекающими граничную окружность под прямым углом.

В модели полуплоскости Пуанкаре идеальный треугольник моделируется арбелосом , фигурой между тремя взаимно касающимися полукругами .

В модели гиперболической плоскости Бельтрами-Клейна идеальный треугольник моделируется евклидовым треугольником, описанным граничной окружностью. Обратите внимание, что в модели Бельтрами-Клейна углы в вершинах идеального треугольника не равны нулю, поскольку модель Бельтрами-Клейна, в отличие от моделей диска Пуанкаре и полуплоскости, не конформна , т.е. не сохраняет углы.

Группа настоящих идеальных треугольников

Модель диска Пуанкаре, замощенная идеальными треугольниками.

Идеальная (∞ ∞ ∞) группа треугольников

Еще одна идеальная плитка

Группа реальных идеальных треугольников — это группа отражений, порожденная отражениями гиперболической плоскости через стороны идеального треугольника. Алгебраически она изоморфна свободному произведению трех групп второго порядка (Шварц 2001).

Библиография

• Шварц, Ричард Эван (2001). «Идеальные группы треугольников, вдавленные торы и численный анализ». Анналы математики . Сер. 2. 153 (3): 533–598. arXiv : math.DG/0105264 . дои : 10.2307/2661362 . JSTOR   2661362 . МР   1836282 .