Модель Бельтрами – Клейна

Многие гиперболические линии, проходящие через точку P, не пересекают линию a в модели Бельтрами Кляйна.

Гиперболическая тригептагональная мозаика в проекции модели Бельтрами – Клейна.

В геометрии модель Бельтрами-Клейна , также называемая проективной моделью , моделью диска Клейна и моделью Кэли-Клейна , представляет собой модель гиперболической геометрии , в которой точки представлены точками внутри единичного круга ( или n -мерный единичный шар ), а линии изображаются хордами — отрезками прямых с идеальными концами на граничной сфере .

Модель Бельтрами-Кляйна названа в честь итальянского геометра Эудженио Бельтрами и немецкого Феликса Кляйна , а «Кейли» в модели Кэли-Кляйна относится к английскому геометру Артуру Кэли .

Модель Бельтрами-Клейна аналогична гномонической проекции сферической геометрии , поскольку геодезические ( большие круги в сферической геометрии) отображаются на прямые линии.

Эта модель не является конформной , то есть углы и окружности искажаются, тогда как модель диска Пуанкаре их сохраняет.

В этой модели линии и сегменты представляют собой прямые евклидовы сегменты, тогда как в модели диска Пуанкаре линии представляют собой дуги , пересекающие границу ортогонально .

История

См. Также: метрика Кэли – Клейна.

Эта модель впервые появилась для гиперболической геометрии в двух мемуарах Эухенио Бельтрами , опубликованных в 1868 году, сначала для размерности n = 2 , а затем для общего n . Эти эссе доказали эквисовместимость гиперболической геометрии с обычной евклидовой геометрией .

До недавнего времени работы Бельтрами оставались малозаметными, и модель была названа в честь Кляйна («Дисковая модель Клейна»). Это произошло следующим образом. В 1859 году Артур Кэли использовал в виде перекрестного отношения определение угла, данное Лагерром , чтобы показать, как евклидова геометрия может быть определена с использованием проективной геометрии . Его определение расстояния позже стало известно как метрика Кэли .

молодой (двадцатилетний) Феликс Кляйн В 1869 году с творчеством Кэли познакомился . Он вспоминал, что в 1870 году он выступил с докладом о работе Кэли на семинаре Вейерштрасса и написал:

«Я закончил вопросом, может ли существовать связь между идеями Кэли и Лобачевского . Мне был дан ответ, что эти две системы концептуально сильно разделены».

Позже Феликс Кляйн понял, что идеи Кэли порождают проективную модель неевклидовой плоскости.

Как выразился Кляйн: «Я позволил этим возражениям убедить себя и отложил в сторону эту уже зрелую идею». Однако в 1871 году он вернулся к этой идее, сформулировал ее математически и опубликовал.

Формула расстояния

Функция расстояния для модели Бельтрами-Клейна представляет собой метрику Кэли-Клейна . Учитывая две различные точки p и q в открытом единичном шаре, единственная прямая линия, соединяющая их, пересекает границу в двух идеальных точках a и b , пометьте их так, чтобы точки были по порядку a , p , q , b , так что | ак | > | ап | и | пб | > | qb | .

Тогда гиперболическое расстояние между p и q составит: $d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}$

Вертикальные полосы обозначают евклидовы расстояния между точками модели, где ln — натуральный логарифм , а половинный коэффициент необходим для придания модели стандартной кривизны −1.

Если одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно r, то гиперболическое расстояние равно:

${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,$

где artanh — обратная гиперболическая функция гиперболического тангенса .

Модель

Линии в проективной модели гиперболической плоскости

В двух измерениях модель Бельтрами-Клейна называется моделью диска Клейна . Это диск , а внутренняя часть диска — модель всей гиперболической плоскости . Линии в этой модели представлены хордами граничной окружности (также называемой абсолютной ). Точки на граничном круге называются идеальными точками ; хотя они и четко определены , они не принадлежат гиперболической плоскости. То же самое относится и к точкам вне диска, которые иногда называют ультраидеальными точками .

Модель не конформна , то есть углы искажены, а круги на гиперболической плоскости в модели вообще не являются круглыми. Не искажаются только круги, центр которых находится в центре граничного круга. Все остальные круги искажены, как и орициклы и гиперциклы.

Свойства

Хорды, пересекающиеся на граничной окружности, представляют собой ограничивающие параллельные прямые.

Две хорды перпендикулярны, если при вытягивании за пределы диска каждая проходит через полюс другой. (Полюс хорды — это ультраидеальная точка: точка вне диска, где сходятся касательные к диску на концах хорды.) Хорды, проходящие через центр диска, имеют полюс на бесконечности, ортогональный направлению хорды (это означает, что прямые углы на диаметрах не искажаются).

Конструкции циркуля и линейки

См. Также: Конструкция циркуля и линейки.

Вот как можно использовать в модели конструкции циркуля и линейки, чтобы добиться эффекта основных конструкций в гиперболической плоскости .

• Полюс линии . Хотя полюс не является точкой на гиперболической плоскости (это ультраидеальная точка ), в большинстве конструкций полюс линии будет использоваться одним или несколькими способами.

Для линии: постройте касательные к граничной окружности через идеальные (конечные) точки линии. точка пересечения этих касательных является полюсом.

Для диаметров диска: полюс находится на бесконечности перпендикулярно диаметру.

• Чтобы построить перпендикуляр к данной прямой через данную точку, проведите луч из полюса прямой через данную точку. Часть луча, находящаяся внутри диска, является перпендикуляром.

Если линия представляет собой диаметр диска, то перпендикуляр — это хорда, которая (евклидова) перпендикулярна этому диаметру и проходит через данную точку.

• Чтобы найти середину заданного отрезка $AB$: Нарисуйте линии через A и B, перпендикулярные $AB$. (см. выше) Нарисуйте линии, соединяющие идеальные точки этих линий, две из этих линий будут пересекать отрезок $AB$и сделает это в тот же момент. (гиперболической) серединой Эта точка является $AB$.
• Чтобы разделить заданный угол пополам $\angle BAC$: Нарисуйте лучи AB и AC. Проведите касательные к окружности, где лучи пересекают граничную окружность. Проведите линию от А до точки пересечения касательных. Часть этой линии между А и граничной окружностью является биссектрисой.
• Общим перпендикуляром двух прямых является хорда, которая при растяжении проходит через оба полюса хорд.

Если одна из хорд равна диаметру граничной окружности, то общим перпендикуляром является та хорда, которая перпендикулярна диаметру и при удлинении проходит через полюс другой хорды.

• Чтобы отразить точку P на линии l : Из точки R на линии l проведите луч через точку P. Пусть X — идеальная точка, в которой луч пересекает абсолют. Проведите луч от полюса линии l через X, пусть Y — еще одна идеальная точка, пересекающая луч. Нарисуйте отрезок RY. Отражением точки P является точка, в которой луч из полюса линии l, проходящий через P, пересекает RY.

Круги, гиперциклы и орициклы

Окружности в модели гиперболической геометрии Клейна-Бельтрами.

Хотя линии в гиперболической плоскости легко нарисовать в модели диска Клейна, это не то же самое с кругами, гиперциклами и орициклами .

Круги (набор всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки, ее центра) в модели становятся эллипсами , которые становятся все более сплющенными по мере приближения к краю. Также углы в модели диска Клейна деформированы.

Для конструкций в гиперболической плоскости, содержащих круги, гиперциклы , орициклы или непрямые углы, лучше использовать модель диска Пуанкаре или модель полуплоскости Пуанкаре .

с моделью

Основная статья: Гиперболическая геометрия § Связь между моделями

Комбинированные проекции модели диска Клейна (желтый) на модель диска Пуанкаре (красный) через модель полушария (синий)

Модель Бельтрами-Клейна (K на рисунке) представляет собой ортографическую проекцию полусферической модели и гномоническую проекцию модели гиперболоида (Hy) с центром гиперболоида (O) в качестве центра.

И модель диска Пуанкаре , и модель диска Клейна являются моделями гиперболической плоскости. Преимущество модели диска Пуанкаре состоит в том, что она конформна (не искажаются окружности и углы); недостатком является то, что линии геометрии представляют собой дуги окружностей, ортогональные граничной окружности диска.

Эти две модели связаны через проекцию на модель полушария или из нее . Модель Клейна представляет собой ортогональную проекцию модели полушария, а модель диска Пуанкаре — стереографическую проекцию .

При проецировании одних и тех же линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки . (идеальные точки остаются на том же месте) также полюс хорды является центром круга, содержащего дугу .

Если P — точка, то расстояние $s$ от центра единичного круга в модели Бельтрами – Клейна, то соответствующая точка в модели диска Пуанкаре находится на расстоянии u на том же радиусе:

$u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s^{2}}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}{s}}.$

И наоборот, если P — точка, то расстояние $u$ от центра единичного круга в модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами – Клейна находится на расстоянии s на том же радиусе:

$s={\frac {2u}{1+u^{2}}}.$

Связь модели диска с моделью гиперболоида

Основная статья: Гиперболическая геометрия § Связь между моделями

И модель гиперболоида , и модель диска Клейна являются моделями гиперболической плоскости.

Диск Клейна (K, на рисунке) представляет собой гномоническую проекцию модели гиперболоида (Hy) с центром в центре гиперболоида (O) и плоскостью проекции, касающейся ближайшей точки гиперболоида.

Расстояние и метрический тензор

Правильные гиперболические додекаэдрические соты , {5,3,4}

Учитывая две различные точки U и V в открытом единичном шаре модели в евклидовом пространстве , единственная прямая линия, соединяющая их, пересекает единичную сферу в двух идеальных точках A и B , помеченных так, что точки расположены по порядку вдоль линии: А , У , В , Б. ​ Принимая центр единичного шара модели в качестве начала координат и присваивая векторы положения u , v , a , b соответственно точкам U , V , A , B , мы получаем, что ‖ a - v ‖ > ‖ a - ты ‖ и ‖ u − b ‖ > ‖ v − b ‖ , где ‖ · ‖ обозначает евклидову норму . Тогда расстояние между U и V в моделируемом гиперболическом пространстве выражается как

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left\|\mathbf {v} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {u} \right\|}{\left\|\mathbf {u} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {v} \right\|}},$

-1 необходим половинный коэффициент где для получения кривизны .

Соответствующий метрический тензор имеет вид

$ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}}{1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2})\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}$

моделью

Частичное гиперболическое замощение {7,3} гиперболоида, как видно в перспективе Бельтрами-Клейна.

Продолжительность: 21 секунда. 0:21

Анимация частичного гиперболического мозаики {7,3} гиперболоида, вращающегося в перспективе Бельтрами-Клейна.

Модель гиперболоида — это модель гиперболической геометрии в ( n + 1) -мерном пространстве Минковского . Внутренний продукт Минковского определяется выражением

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,$

и норма по $\left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$. Гиперболическая плоскость вложена в это пространство как векторы x с ‖ x ‖ = 1 и x ₀ («времяподобная компонента») положительные. Внутреннее расстояние (во вложении) между точками u и v тогда определяется выражением

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).$

Это также можно записать в однородной форме

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} }{\left\|\mathbf {u} \right\|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {v} \right\|}}\right),$

что позволяет масштабировать векторы для удобства.

Модель Бельтрами-Клейна получается из модели гиперболоида путем изменения масштаба всех векторов так, чтобы времениподобный компонент был равен 1, то есть путем проецирования вложения гиперболоида через начало координат на плоскость x ₀ = 1 . Функция расстояния в ее однородной форме не меняется. Поскольку внутренние линии (геодезические) модели гиперболоида представляют собой пересечение вложения с плоскостями через начало координат Минковского, внутренние линии модели Бельтрами – Клейна представляют собой хорды сферы.

с моделью

И модель шара Пуанкаре , и модель Бельтрами – Клейна являются моделями n -мерного гиперболического пространства в n -мерном единичном шаре в R. ^н . Если $u$ — вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами – Клейна определяется выражением

$s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.$

И наоборот, из вектора $s$ с нормой меньше единицы, представляющей точку модели Бельтрами – Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре определяется выражением

$u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.$

Учитывая две точки на границе единичного круга, которые традиционно называются идеальными точками , прямая линия, соединяющая их в модели Бельтрами-Клейна, является хордой между ними, тогда как в соответствующей модели Пуанкаре линия представляет собой дугу окружности на двух -мерное подпространство, порожденное двумя векторами граничных точек, встречающимися с границей шара под прямым углом. Две модели связаны проекцией из центра диска; луч из центра, проходящий через точку одной модельной линии, проходит через соответствующую точку линии другой модели.

См. также

• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Модель диска Пуанкаре
• Метрика Пуанкаре
• Инверсивная геометрия

Ссылки

• Луис Сантало (1961), Неевклидовы геометрии , EUDEBA.
• Шталь, Сол (2007), Ворота в современную геометрию: полуплоскость Пуанкаре (2-е изд.), Jones & Bartlett Learning, ISBN  978-0-7637-5381-8
• Нильсен, Франк; Нок, Ричард (2009), «Гиперболические диаграммы Вороного стали проще», Международная конференция по вычислительной науке и ее приложениям 2010 г. , стр. 74–80, arXiv : 0903.3287 , doi : 10.1109/ICCSA.2010.37 , ISBN  978-1-4244-6461-6 , S2CID   14129082