Гибкий многогранник

Многогранник Штеффена , простейший из возможных несамопересекающихся гибких многогранников.

В геометрии — гибкий многогранник это многогранная поверхность без каких-либо граничных ребер, форму которой можно непрерывно изменять, сохраняя неизменной форму всех ее граней. Теорема о жесткости Коши показывает, что в размерности 3 такой многогранник не может быть выпуклым (это верно и в более высоких измерениях).

Первые примеры гибких многогранников, ныне называемых октаэдрами Брикара , были открыты Раулем Брикаром ( 1897 ). Это самопересекающиеся поверхности изометричные октаэдру , . Первый пример гибкой несамопересекающейся поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$, сфера Коннелли , была открыта Робертом Коннелли ( 1977 ). Многогранник Штеффена — еще один несамопересекающийся гибкий многогранник, производный от октаэдров Брикара.

Гипотеза Беллоуза

В конце 1970-х годов Коннелли и Д. Салливан сформулировали гипотезу о мехах, утверждающую, что объем гибкого многогранника инвариантен относительно изгиба. , доказал гомеоморфных сфере Эту гипотезу для многогранников , И.Х. Сабитов ( 1995 )используя теорию исключения , а затем доказанную для общих ориентируемых двумерных многогранных поверхностей Робертом Коннелли, И. Сабитовым и Анке Вальц ( 1997 ). Доказательство расширяет Пьеро делла Франчески формулу для объема тетраэдра до формулы объема любого многогранника. Расширенная формула показывает, что объем должен быть корнем многочлена, коэффициенты которого зависят только от длин ребер многогранника. Поскольку длины ребер не могут меняться при изгибе многогранника, объем должен оставаться на уровне одного из конечного числа корней многочлена, а не изменяться непрерывно.

Ножницеобразная конгруэнтность

Коннелли предположил, что инвариант Дена гибкого многогранника инвариантен относительно изгиба. Это было известно как гипотеза сильных сильфонов или (после того, как она была доказана в 2018 году) теорема сильных сильфонов . Поскольку все конфигурации гибкого многогранника имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена, они представляют собой ножницы, конгруэнтные друг другу, а это означает, что для любых двух из этих конфигураций можно разрезать одну из них на многогранные части, которые можно снова собрать в сформировать другой. Полная средняя кривизна гибкого многогранника, определяемая как сумма произведений длин ребер на внешние двугранные углы, является функцией инварианта Дена, который, как известно, также остается постоянным, пока многогранник изгибается.

Обобщения

Гибкие 4-многогранники в 4-мерном евклидовом пространстве и 3-мерном гиперболическом пространстве были изучены Хельмутом Стачелом ( 2000 ). По размерам $n\geq 5$гибкие многогранники были построены Гайфуллиным (2014) .

См. также

• Флексагон
• Жесткое оригами

Ссылки

Первоисточники

• Александр, Ральф (1985), «Липшицевы отображения и полная средняя кривизна многогранных поверхностей. I», Transactions of the American Mathematical Society , 288 (2): 661–678, doi : 10.2307/1999957 , JSTOR   1999957 , MR   0776397 .
• Александров, Виктор (2010), «Инварианты Дена октаэдров Брикара», Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , doi : 10.1007/s00022-011-0061-7 , MR   2823098 .
• Брикар, Р. (1897), «Мемуары по теории сочлененного октаэдра» , J. Math. Чистое приложение. , 5 (3): 113–148, заархивировано из оригинала 16 февраля 2012 г. , получено 27 июля 2008 г.
• Коннелли, Роберт (1977), «Контрпример к гипотезе о жесткости многогранников» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 (47): 333–338, doi : 10.1007/BF02684342 , ISSN   1618-1913 , MR   0488071
• Коннелли, Роберт; Сабитов И.; Вальц, Анке (1997), «Гипотеза о мехах» , Вклад в алгебру и геометрию , 38 (1): 1–10, ISSN   0138-4821 , MR   1447981
• Гибкие перекрестные многогранники в пространствах постоянной института . 3 Гайфуллин , « Математического им Труды кривизны , 2014 ) Александр А. ( ,   » .
• Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S. (2018), "Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi : 10.1134/S0371968518030068 , ISBN  5-7846-0147-4 , МР   3894642 .
• Sabitov , I. Kh. [in Russian] (1995), "On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 50 (2): 223–224, ISSN  0042-1316 , MR  1339277
• Стачел, Хельмут (2006), «Гибкие октаэдры в гиперболическом пространстве», у А. Прекопы; и др. (ред.), Неевклидовы геометрии (памятный том Яноша Бойяи) , Математика и ее приложения, том. 581, Нью-Йорк: Springer, стр. 209–225, CiteSeerX   10.1.1.5.8283 , doi : 10.1007/0-387-29555-0_11 , ISBN  978-0-387-29554-1 , МР   2191249 .
• Стачел, Хельмут (2000), «Гибкие перекрестные многогранники в евклидовом 4-мерном пространстве» (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 4 (2): 159–167, MR   1829540 .

Вторичные источники

• Коннелли, Роберт (1979), «Жесткость многогранных поверхностей», Mathematics Magazine , 52 (5): 275–283, doi : 10.2307/2689778 , JSTOR   2689778 , MR   0551682 .
• Коннелли, Роберт (1981), «Гибкие поверхности», в Кларнере, Дэвиде А. (редактор), The Mathematical Gardner , Springer, стр. 79–89, doi : 10.1007/978-1-4684-6686-7_10 , ISBN  978-1-4684-6688-1 .
• Коннелли, Роберт (1993), «Жесткость» (PDF) , Справочник по выпуклой геометрии, Том. A, B , Амстердам: Северная Голландия, стр. 223–271, MR   1242981 .
• Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), «23.2 Гибкие многогранники», Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, doi : 10.1017/CBO9780511735172 , ISBN  978-0-521-85757-4 , МР   2354878 .
• Фукс, Дмитрий; Табачников, Серж (2007), «Лекция 25. Гибкие многогранники», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 345–360, doi : 10.1090/mbk/046 , ISBN  978-0-8218-4316-1 , МР   2350979

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Гибкий многогранник » (« гипотеза Беллоуза ») в MathWorld .