Задача Тарского о квадратуре круга

Задача Тарского о квадратуре круга — это задача, поставленная Альфредом Тарским в 1925 году: взять диск на плоскости, разрезать его на конечное число частей и собрать их так, чтобы получить квадрат равной площади . Возможность этого доказал Миклош Лачкович в 1990 году; декомпозиция интенсивно использует выбранную аксиому и поэтому неконструктивна . Лачкович оценил количество частей в своем разложении примерно в 10. ⁵⁰; части, использованные при его разложении, представляют собой неизмеримые подмножества плоскости. Конструктивное решение было предложено Лукашом Грабовским, Андрашем Мате и Олегом Пихурко в 2016 году. ^{[ 1 ]} которое работало везде, кроме множества нулевой меры. Совсем недавно Эндрю Маркс и Спенсер Унгер ( 2017 ) предложили вполне конструктивное решение, используя примерно $10^{200}$ Кусочки Бореля . ^{[ 2 ]} В 2021 году Матэ, Ноэль и Пихурко улучшили свойства фигур. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

В частности, Лестер Дубинс , Моррис В. Хирш и Джек Каруш доказали, что невозможно разрезать круг и составить квадрат, используя кусочки, которые можно разрезать идеализированными ножницами (то есть иметь границу по кривой Жордана ). ^{[ 5 ]}

Лачкович фактически доказал, что сборку можно выполнить только с помощью переводов ; ротации не требуются. Попутно он также доказал, что любой простой многоугольник на плоскости можно разложить на конечное число частей и снова собрать с помощью трансляций только для того, чтобы образовать квадрат равной площади. Теорема Бояи-Гервина представляет собой родственный, но гораздо более простой результат: она утверждает, что можно выполнить такое разложение простого многоугольника с конечным количеством многоугольных частей , если для повторной сборки разрешены как сдвиги, так и вращения.

Из результатов Уилсона (2005) следует , что можно выбирать фигуры таким образом, чтобы их можно было перемещать непрерывно, оставаясь при этом непересекающимися, образуя квадрат. Более того, можно доказать, что это более сильное утверждение выполнено только посредством переводов.

Эти результаты следует сравнить с гораздо более парадоксальными разложениями в трех измерениях, обеспечиваемыми парадоксом Банаха-Тарского ; эти разложения могут даже изменить объем набора. Однако на плоскости разложение на конечное число частей должно сохранять сумму банаховых мер частей и, следовательно, не может изменить общую площадь набора ( Wagon 1993 ).

См. также

Квадратирование круга — другая задача: задача (которая оказалась невыполнимой) построить для данного круга квадрат равной площади с помощью только линейки и циркуля .

Ссылки

^ Грабовский, Лукаш; Мате, Андраш; Пихурко Олег (27 апреля 2022 г.). «Измеримые эквидекомпозиции групповых действий со свойством расширения» . Журнал Европейского математического общества . 24 (12): 4277–4326. arXiv : 1601.02958 . дои : 10.4171/JEMS/1189 .
^ Маркс, Эндрю; Унгер, Спенсер (25 августа 2017 г.). «Конструктивное решение задачи Тарского о квадратуре круга (презентация)» (PDF) . Проверено 12 июля 2021 г.
^ Мате, Андраш; Ноэль, Джонатан А.; Пихурко, Олег (03.02.2022). «Квадрат круга с кусочками малой границы и малой борелевской сложности». arXiv : 2202.01412 [ math.MG ].
^ Надис, Стив (08 февраля 2022 г.). «Древняя задача геометрии решается новыми математическими методами» . Журнал Кванта . Проверено 18 февраля 2022 г.
^ Дубинс, Лестер; Хирш, Моррис В.; Каруш, Джек (декабрь 1963 г.). «Ножничное соответствие». Израильский математический журнал . 1 (4): 239–247. дои : 10.1007/BF02759727 . ISSN 1565-8511 .

Хертель, Эйке; Рихтер, Кристиан (2003), «Квадратура круга путем рассечения» (PDF) , Вклад в алгебру и геометрию , 44 (1): 47–55, MR 1990983 .
Лачкович, Миклос (1990), «Равноразложимость и несоответствие: решение задачи Тарского о квадрате круга», Журнал чистой и прикладной математики , 1990 (404): 77–117, doi : 10.1515/crll.1990.404.77 , MR 1037431 , S2CID 117762563 .
Лачкович, Миклос (1994), «Парадоксальные разложения: обзор последних результатов», Proc. Первый Европейский математический конгресс, Vol. II (Париж, 1992 г.) , Progress in Mathematics, vol. 120, Базель: Биркхойзер, стр. 159–184, MR 1341843 .
Маркс, Эндрю; Унгер, Спенсер (2017), «Квадратура борелевского круга» , Annals of Mathematics , 186 (2): 581–605, arXiv : 1612.05833 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.4 , S2CID 738154 .
Тарский, Альфред (1925), «Проблема 38», Fundamenta Mathematicae , 7 : 381 .
Уилсон, Тревор М. (2005), «Версия парадокса Банаха-Тарского с непрерывным движением: решение проблемы Де Гроота» (PDF) , Journal of Символическая логика , 70 (3): 946–952, doi : 10.2178/ jsl/1122038921 , MR 2155273 , S2CID 15825008 .
Вагон, Стэн (1993), Парадокс Банаха – Тарского , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 24, Издательство Кембриджского университета, с. 169 , ISBN 9780521457040 .

[1] Грабовский, Лукаш; Мате, Андраш; Пихурко Олег (27 апреля 2022 г.). «Измеримые эквидекомпозиции групповых действий со свойством расширения» . Журнал Европейского математического общества . 24 (12): 4277–4326. arXiv : 1601.02958 . дои : 10.4171/JEMS/1189 .

[2] Маркс, Эндрю; Унгер, Спенсер (25 августа 2017 г.). «Конструктивное решение задачи Тарского о квадратуре круга (презентация)» (PDF) . Проверено 12 июля 2021 г.

[3] Мате, Андраш; Ноэль, Джонатан А.; Пихурко, Олег (03.02.2022). «Квадрат круга с кусочками малой границы и малой борелевской сложности». arXiv : 2202.01412 [ math.MG ].

[4] Надис, Стив (08 февраля 2022 г.). «Древняя задача геометрии решается новыми математическими методами» . Журнал Кванта . Проверено 18 февраля 2022 г.

[5] Дубинс, Лестер; Хирш, Моррис В.; Каруш, Джек (декабрь 1963 г.). «Ножничное соответствие». Израильский математический журнал . 1 (4): 239–247. дои : 10.1007/BF02759727 . ISSN 1565-8511 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]