Трапеция

Трапеция (AmE) Трапеция (БрЭ)
Трапеция или трапеция
Тип	четырехугольник
Ребра и вершины	4
Область	${\tfrac {a+b}{2}}h$
Характеристики	выпуклый

В геометрии трапеция трапеция ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) в североамериканском английском или ( z / t r ə ˈ p iː i ə m / ) в британском английском , четырехугольник , у которого одна пара параллельных сторон.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются катетами (или боковыми сторонами ), если они не параллельны; в противном случае трапеция является параллелограммом и имеет две пары оснований. Разносторонняя трапеция – это трапеция, у которой нет равных сторон , в отличие от особых случаев, описанных ниже.

Трапецией обычно считают выпуклый четырехугольник в евклидовой геометрии , но бывают и скрещенные случаи. Если ABCD — выпуклая трапеция, то ABDC — скрещенная трапеция. Метрические формулы в этой статье применимы к выпуклым трапециям.

Этимология и трапеция против трапеции

Определения Хаттона 1795 г.

Древнегреческий математик Евклид определил пять типов четырехугольников, четыре из которых имели два набора параллельных сторон (известных на английском языке как квадрат, прямоугольник, ромб и ромб), а последний не имел двух наборов параллельных сторон – τραπέζια ( трапеция). буквально «стол», от τετράς ( tetrás ) «четыре» + πέζα ( péza ) «нога»; конец, граница, край»).

Два типа трапеций были представлены Проклом (412–485 гг. н. э.) в его комментарии к первой книге « Начал» Евклида :

• одна пара параллельных сторон – трапеция (τραπέζιον), разделенная на равнобедренную (равные ножки) и разностороннюю (неравные) трапеции.
• нет параллельных сторон - трапеция (τραπεζοειδή, трапеция , буквально «похожий на трапецию» ( εἶδος означает «похожий»), точно так же, как кубоид означает « кубоподобный », а ромбоид означает « подобный ромбу »)

Все европейские языки следуют структуре Прокла. как и английский до конца 18 века, пока влиятельный математический словарь, опубликованный Чарльзом Хаттоном в 1795 году, не поддержал без объяснения перестановку терминов. Примерно в 1875 году в британском английском это было изменено, но в американском английском оно сохраняется до сих пор.

В следующей таблице сравниваются варианты использования: наиболее конкретные определения вверху и самые общие внизу.

Тип	Наборы параллельных сторон	Изображение	Оригинальная терминология			Современная терминология
			Евклид (определение 22)	Прокл (Определения 30–34, цитирует Посидония)	Определение Евклида/Прокла	Британский английский	Американский английский
Параллелограмм	2		ромбы		равносторонний, но не прямоугольный	Ромб/Параллелограмм
			ромбовидные мышцы		противоположные стороны и углы равны друг другу, но не равносторонние и не прямоугольные	Ромбовидный/Параллелограмм
Непараллелограмм	1		столы (трапеция)	трапециево- ионные изоскелеты	Две параллельные стороны и линия симметрии.	трапеция Равнобедренная	трапеция Равнобедренная
				трапеция ион скалинон	Две параллельные стороны и отсутствие линии симметрии.	Трапеция ​	Трапеция оид
	0			( трапеции трапеции )	Нет параллельных сторон	Неправильный четырехугольник трапеция /	Трапеция ​

Инклюзивное и эксклюзивное определение

Существуют некоторые разногласия по поводу того, параллелограммы следует ли считать , имеющие две пары параллельных сторон, трапециями.

Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. В некоторых источниках термин «правильная трапеция» используется для описания трапеций в соответствии с исключительным определением, аналогично использованию слова «собственная трапеция» в некоторых других математических объектах.

Другие определить трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон (инклюзивное определение ), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление . В этой статье используется инклюзивное определение и рассматриваются параллелограммы как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников .

Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы , квадраты и неквадратные прямоугольники ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.

Особые случаи

Особые случаи трапеции. Оранжевые фигуры также можно назвать параллелограммами.

Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией ) имеет два смежных прямых угла . Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

Острая трапеция имеет два смежных острых угла на длинном основании .

в каждом С другой стороны, тупая трапеция имеет по одному острому и одному тупому углам основании .

Равнобедренная трапеция — это трапеция, углы при основании которой имеют одинаковую величину. Как следствие, две ножки также имеют одинаковую длину и обладают зеркальной симметрией . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (в виде прямоугольников).

Параллелограмм — это (согласно инклюзивному определению) трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или точечного отражения симметрию ). Можно для тупых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

Тангенциальная трапеция — это трапеция, имеющая вписанную окружность .

подобен Четырехугольник Саккери трапеции в гиперболической он представляет собой прямоугольник плоскости с двумя примыкающими прямыми углами, а в евклидовой плоскости . в Четырехугольник Ламберта гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Условия существования

Четыре длины a , c , b , d могут составлять последовательные стороны непараллелограммной трапеции с a и b параллельными только тогда, когда

$\displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.$

Четырехугольник является параллелограммом, если $d-c=b-a=0$, но это экскасательный четырехугольник (который не является трапецией), когда $|d-c|=|b-a|\neq 0$.

Характеристики

общая трапеция/трапеция:
параллельные стороны: $a,\,b$ с $a<b$
ноги: $c,\,d$
диагонали: $q,\,p$
средний сегмент: $m$
высота/высота: $h$

трапеция/трапеция с противоположными треугольниками $S,\,T$ образованы диагоналями

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них означает, что четырехугольник является трапецией:

• Он имеет два смежных угла , которые являются дополнительными , то есть в сумме составляют 180 градусов .
• Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
• Диагонали пересекают друг друга в одинаковом отношении (это соотношение такое же, как и между длинами параллельных сторон).
• Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противолежащая пара имеет равные площади.
• Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю.
• Площади S и T некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

${\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},$

где К — площадь четырехугольника.

• Середины двух противоположных сторон трапеции и пересечение диагоналей лежат на одной прямой .
• Углы четырехугольника ABCD удовлетворяют условиям $\sin A\sin C=\sin B\sin D.$
• косинусов двух соседних углов Сумма равна 0, как и косинусы двух других углов.
• Сумма котангенсов двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других смежных углов.
• Одна бимедиана делит четырёхугольник на два четырёхугольника равных площадей.
• Двойная длина бимедианы, соединяющей середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон.

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

• Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению

$p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.$

• Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению

$v={\frac {|a-b|}{2}}.$

Средний сегмент и высота

Средний сегмент (также называемый медианой или средней линией) трапеции — это сегмент, который соединяет середины ног. Он параллелен основаниям. Его длина m равна среднему значению длин оснований a и b трапеции,

$m={\frac {a+b}{2}}.$

Средний отрезок трапеции является одной из двух бимедиан (другая бимедиана делит трапецию на равные площади).

Высота расстояние (или высота) — это по перпендикуляру между основаниями. В случае, когда два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле

$h={\frac {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-b-d)(p-b-c)}}{2|b-a|}}$

где c и d — длины ног и $p=a+b+c+d$.

Область

Площадь K трапеции определяется выражением

$K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh$

где a и b — длины параллельных сторон, h — высота (расстояние по перпендикуляру между этими сторонами), а m — среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 году нашей эры Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в «Арьябхатии» (раздел 2.8). это дает В частном случае хорошо известную формулу площади треугольника , если рассматривать треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась в точку.

Индийский математик VII века Бхаскара I вывел следующую формулу площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :

$K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}$

где a и b параллельны и b > a . Эту формулу можно преобразовать в более симметричную версию.

$K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.$

Когда одна из параллельных сторон сжимается до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.

Другая эквивалентная формула площади, которая больше напоминает формулу Герона:

$K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}$

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ – полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может быть не вписанной в окружность (вписанной в окружность). Формула также является частным случаем формулы Бретшнейдера для общего четырехугольника ).

Из формулы Бретшнейдера следует, что

$K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(b-a)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.$

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали

Длины диагоналей равны

$p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},$

$q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}$

где a — короткое основание, b — длинное основание, а c и d — ножки трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь $\triangle$ AOD равен $\triangle$ BOC и произведение площадей $\triangle$ АОД и $\triangle$ BOC равен $\triangle$ АОБ и $\triangle$ ХПК . Отношение площадей каждой пары соседних треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон.

Пусть трапеция имеет вершины A , B , C и D последовательно расположенные и параллельные стороны AB и DC . Пусть E — пересечение диагоналей, F — на стороне DA , а G — на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG — гармоническое AB : и DC среднее

${\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).$

Линия, проходящая через точку пересечения расширенных непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам.

Другие объекты недвижимости

Центр площади (центр массы однородной пластинки ) лежит вдоль отрезка, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b, определяемом выражением

$x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).$

Центр площади делит этот отрезок в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной)

${\frac {a+2b}{2a+b}}.$

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то

$PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.$

Приложения

Храм Дендура в Метрополитен-музее в Нью-Йорке.

Архитектура

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных в египетском стиле более широкими у основания и сужающимися кверху. Если они имеют прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно представляет собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль дверей и окон инков .

Геометрия

— Задача о скрещенных лестницах это задача о нахождении расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции, зная длины диагоналей и расстояние от перпендикулярного катета до пересечения диагоналей.

Биология

Пример трапециевидной переднеспинки, очерченной на молочайном жуке.

В морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах, в которых необходим термин для обозначения таких форм, такие термины, как трапециевидная или трапециевидная, обычно полезны при описании определенных органов или форм.

Компьютерная инженерия

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры — это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания на то, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

См. также

• Усеченное тело — твердое тело с трапециевидными гранями.
• Вежливое число , также известное как трапециевидное число.
• Клин — многогранник, определяемый двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.

Дальнейшее чтение

• Д. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников.

Внешние ссылки

• «Трапеция» в Математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Правильная трапеция» . Математический мир .
• Определение трапеции , Площадь трапеции , Медиана трапеции (с интерактивной анимацией)
• Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (построение, окружность, площадь)
• Правило трапеции для численных методов для студентов бакалавриата
• Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями , (2008)