Плоская пластинка

В математике плоская пластинка (или плоская пластинка ) — фигура, изображающая тонкий, обычно однородный, плоский слой твердого тела. Он также служит идеализированной моделью плоского поперечного сечения твердого тела в процессе интеграции .

Плоские пластинки можно использовать для определения моментов инерции или центра масс плоских фигур, а также для помощи в соответствующих расчетах для трехмерных тел.

Определение

Плоская пластинка определяется как фигура ( замкнутое множество ) D конечной площади на плоскости с некоторой массой m .

Это полезно при расчете моментов инерции или центра масс для постоянной плотности, поскольку масса пластинки пропорциональна ее площади. В случае переменной плотности, заданной некоторой (неотрицательной) поверхностной плотности функцией $\rho (x,y),$ масса $m$ планарной пластинки D представляет собой плоский интеграл от ρ по фигуре:

$m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy$

Характеристики

Центр масс пластинки находится в точке

$\left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)$

где $M_{y}$ - момент всей пластинки относительно оси Y и $M_{x}$ - момент всей пластинки относительно оси X:

$M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy$

$M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy$

с суммированием и интегрированием в плоской области $D$.

Пример

Найдите центр масс пластинки, края которой обозначены прямыми. $x=0,$ $y=x$ и $y=4-x$ где плотность определяется как $\rho \ (x,y)\,=2x+3y+2$.

Для этого масса $m$ надо найти, а также моменты $M_{y}$ и $M_{x}$.

Масса $m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy$ который можно эквивалентно выразить как повторный интеграл :

$m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx$

Внутренний интеграл:

$\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy$

$\qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}$

$\qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]$

$\qquad =-4x^{2}-8x+32$

Подстановка этого значения во внешний интеграл приводит к:

${\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}$

Аналогично рассчитываются оба момента:

$M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx$

с внутренним интегралом:

$\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy$

$\qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}$

$\qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x$

что делает:

${\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}$

Наконец, центр масс

$\left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)$