Парадоксальный набор

Парадокс Банаха-Тарского заключается в том, что шар можно разложить на конечное число наборов точек и снова собрать в два шара, идентичных исходному.

В теории множеств — парадоксальное множество это множество, имеющее парадоксальное разложение . Парадоксальное разложение набора — это два семейства непересекающихся подмножеств вместе с соответствующими групповыми действиями , которые действуют в некоторой вселенной (подмножеством которой является рассматриваемое множество), так что каждое разделение может быть отображено обратно на весь набор, используя только конечное множество различных функций (или их композиций) для выполнения отображения. Множество, допускающее такую ​​парадоксальную декомпозицию, при которой действия принадлежат группе $G$ называется $G$-парадоксальный или парадоксальный по отношению к $G$.

Парадоксальные множества существуют как следствие аксиомы бесконечности . Принятие бесконечных классов как наборов достаточно, чтобы разрешить парадоксальные множества.

Определение

Предположим, группа $G$ действует на множестве $A$. Затем $A$ является $G$-парадоксально, если существуют непересекающиеся подмножества $A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A$ и некоторые элементы группы $g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\in G$ такой, что:

$A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})$ и $A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})$

Примеры

Бесплатная группа

Свободная группа F на двух образующих a,b имеет разложение $F=\{e\}\cup X(a)\cup X(a^{-1})\cup X(b)\cup X(b^{-1})$ где e - идентификационное слово и $X(i)$ представляет собой совокупность всех (сокращенных) слов, начинающихся с буквы i . Это парадоксальное разложение, поскольку $X(a)\cup aX(a^{-1})=F=X(b)\cup bX(b^{-1}).$

Парадокс Банаха-Тарского

Основная статья: Парадокс Банаха – Тарского

Самый известный пример парадоксальных множеств — парадокс Банаха-Тарского , который делит сферу на парадоксальные множества для специальной ортогональной группы . Этот результат зависит от выбранной аксиомы .

См. также

• Патологический (математика)