Парадокс фон Неймана

В математике парадокс фон Неймана , названный в честь Джона фон Неймана , представляет собой идею о том, что можно разбить плоскую фигуру, такую ​​как единичный квадрат, на наборы точек и подвергнуть каждый набор аффинному преобразованию, сохраняющему площадь, так что результат будет равен двум плоские фигуры того же размера, что и оригинал. Это было доказано в 1929 году Джоном фон Нейманом , приняв аксиому выбора . Он основан на более раннем парадоксе Банаха-Тарского , который, в свою очередь, основан на парадоксе Хаусдорфа .

Банах и Тарский доказали, что при использовании изометрических преобразований результат разборки и повторной сборки двумерной фигуры обязательно будет иметь ту же площадь, что и оригинал. Это сделало бы невозможным создание двух единичных квадратов из одного. Но фон Нейман понял, что хитрость таких так называемых парадоксальных разложений заключалась в использовании группы преобразований , включающей в качестве подгруппы с свободную группу двумя образующими . Группа преобразований, сохраняющих площадь (будь то специальная линейная группа или специальная аффинная группа ) содержит такие подгруппы, и это открывает возможность проводить с их помощью парадоксальные разложения.

Схема метода

Ниже приводится неформальное описание метода, найденного фон Нейманом. Предположим, что у нас есть свободная группа H линейных преобразований, сохраняющих площадь, порожденная двумя преобразованиями σ и τ, которые находятся недалеко от единичного элемента. Быть свободной группой означает, что все ее элементы могут быть однозначно выражены в виде $\sigma ^{u_{1}}\tau ^{v_{1}}\sigma ^{u_{2}}\tau ^{v_{2}}\cdots \sigma ^{u_{n}}\tau ^{v_{n}}$ для некоторого n , где $u$песок $v$s — все ненулевые целые числа, за исключением, возможно, первого $u$ и последний $v$. Мы можем разделить эту группу на две части: те, которые начинаются слева с σ в некоторой ненулевой степени (мы называем это множество A ), и те, которые начинаются с τ в некоторой степени (т. е. $u_{1}$ равен нулю — мы называем это множество B , и оно включает единицу).

Если мы воздействуем на любую точку евклидова 2-пространства различными элементами H, мы получаем то, что называется орбитой этой точки. Таким образом, все точки плоскости можно разделить на орбиты, число которых бесконечно с мощностью континуума . Используя аксиому выбора , мы можем выбрать одну точку с каждой орбиты и назвать множество этих M. точек Мы исключаем начало координат, которое является фиксированной точкой в ​​H . Если мы затем будем оперировать M всеми элементами H , мы создадим каждую точку плоскости (кроме начала координат) ровно один раз. Если мы воздействуем на M всеми элементами A или B , мы получаем два непересекающихся множества, объединение которых представляет собой все точки, кроме начала координат.

Теперь возьмем какую-нибудь фигуру, например единичный квадрат или единичный круг. Затем мы выбираем другую фигуру полностью внутри него, например квадрат меньшего размера с центром в начале координат. Мы можем покрыть большую фигуру несколькими копиями маленькой фигуры, хотя некоторые точки будут покрыты двумя или более копиями. Затем мы можем присвоить каждую точку большой фигуры одной из копий маленькой фигуры. Назовем множества, соответствующие каждой копии $C_{1},C_{2},\dots ,C_{m}$. Теперь мы осуществим взаимно однозначное отображение каждой точки большой фигуры в точку внутри нее, используя только преобразования, сохраняющие площадь. Берем точки, принадлежащие $C_{1}$ и переведите их так, чтобы центр $C_{1}$ квадрат находится в начале координат. Затем мы берем в нем те точки, которые входят в определенное выше множество A , и действуем над ними сохраняющей площадь операцией σ τ. помещает их в набор B. Это Затем мы берем точки, принадлежащие B, и действуем над ними с помощью σ ² . Теперь они по-прежнему будут находиться в B , но набор этих точек будет не пересекаться с предыдущим набором. Мы действуем таким же образом, используя σ ³ τ на точках A из C ₂ (после его центрирования) и σ ⁴ на своих точках B и так далее. Таким образом, мы взаимно однозначно сопоставили все точки большой фигуры (кроме некоторых фиксированных точек) с точками типа B , расположенными не слишком далеко от центра и внутри большой фигуры. Затем мы можем выполнить второе сопоставление с A. точками типа

На этом этапе мы можем применить метод теоремы Кантора-Бернштейна-Шредера . Эта теорема говорит нам, что если у нас есть инъекция из множества D в множество E (например, из большой фигуры в точки типа A ) и инъекция из E в D (например, тождественное отображение из A) точек типа имеется взаимно однозначное соответствие на рисунке к себе), то между D и E . Другими словами, имея отображение большой фигуры на подмножество точек А в ней, мы можем выполнить отображение (биекцию) большой фигуры на все точки А в ней. (В некоторых регионах точки сопоставляются сами с собой, в других они сопоставляются с использованием отображения, описанного в предыдущем параграфе.) Аналогично мы можем сделать отображение большой фигуры на все точки B в ней. Итак, глядя на это наоборот, мы можем разделить фигуру на точки A и B , а затем отобразить каждую из них обратно на всю фигуру (то есть содержащую точки обоих типов)!

В этом эскизе замалчиваются некоторые вещи, например, как обращаться с фиксированными точками. Оказывается, чтобы обойти эту проблему, необходимо больше отображений и наборов.

Последствия

Парадокс квадрата можно усилить следующим образом:

Любые два ограниченных подмножества евклидовой плоскости с непустой внутренностью равносоставны относительно аффинных отображений, сохраняющих площадь.

Это имеет последствия, касающиеся проблемы меры . Как отмечает фон Нейман,

«В результате уже не существует неотрицательной аддитивной меры на плоскости (где единичный квадрат имеет меру 1), которая [sic] была бы инвариантной для всех отображений A ₂ ».

«В соответствии с этим уже на плоскости не существует неотрицательной аддитивной меры (для которой единичный квадрат имеет меру 1), инвариантной относительно всех преобразований, принадлежащих А ₂ [группа сохраняющих площадь аффинных преобразований ]."

Чтобы объяснить это немного подробнее, вопрос о том, существует ли конечно-аддитивная мера, сохраняющаяся при определенных преобразованиях, зависит от того, какие преобразования разрешены. Банахова мера множеств на плоскости, сохраняющаяся при сдвигах и поворотах, не сохраняется при неизометрических преобразованиях, даже если они сохраняют площадь многоугольников. Как объяснялось выше, точки плоскости (кроме начала координат) можно разделить на два плотных множества которые мы можем назвать A и B. , Если точки A данного многоугольника преобразуются одним преобразованием, сохраняющим площадь, а точки B - другим, оба набора могут стать подмножествами точек B в двух новых многоугольниках. Новые многоугольники имеют ту же площадь, что и старый многоугольник, но два преобразованных набора не могут иметь ту же меру, что и раньше (поскольку они содержат только часть точек B ), и поэтому не существует меры, которая «работает».

Класс групп, выделенный фон Нейманом в ходе изучения явления Банаха–Тарского, оказался очень важным для многих областей математики: это аменабельные группы , или группы с инвариантным средним, и включают в себя все конечные и все разрешимые группы. . Вообще говоря, парадоксальные разложения возникают, когда группа, используемая для эквивалентностей в определении равноразложимости, не аменабельна.

Недавний прогресс

Статья фон Неймана оставила открытой возможность парадоксального разложения внутренности единичного квадрата по линейной группе SL (2, R ) (Вагон, вопрос 7.4). В 2000 году Миклош Лашкович доказал, что такое разложение существует. Точнее, пусть A — семейство всех ограниченных подмножеств плоскости с непустой внутренностью и на положительном расстоянии от начала координат, а B — семейство всех плоских множеств со свойством, что объединение конечного числа переводится под некоторые элементы SL R (2, ) содержит проколотую окрестность начала координат. Тогда все множества семейства A SL ( 2, R )-равносоставны, как и множества из B . Отсюда следует, что оба семейства состоят из парадоксальных множеств.

См. также

• Парадоксы теории множеств