Парадокс Хаусдорфа

Парадокс Хаусдорфа — парадокс в математике, названный в честь Феликса Хаусдорфа . Речь идет о сфере ${S^{2}}$ (поверхность трехмерного шара в ${\mathbb {R} ^{3}}$ ). Он гласит, что если определенное счетное подмножество удалить из ${S^{2}}$ , то остаток можно разбить на три непересекающихся подмножества ${A,B}$ и ${C}$ такой, что ${A,B,C}$ и ${B\cup C}$ все совпадают . В частности, отсюда следует, что на $S^{2}$ не существует конечно-аддитивной меры, определенной на всех подмножествах такой, что мера конгруэнтных множеств равна (поскольку это означало бы, что мера конгруэнтных множеств равна ${B\cup C}$ одновременно $1/3$ , $1/2$ , и $2/3$ ненулевой меры всей сферы).

Парадокс был опубликован в Mathematische Annalen в 1914 году, а также в книге Хаусдорфа Grundzüge der Mengenlehre в том же году. Доказательство гораздо более известного парадокса Банаха – Тарского использует идеи Хаусдорфа. Доказательство этого парадокса опирается на аксиому выбора .

Этот парадокс показывает, что не существует конечно-аддитивной меры на сфере, определенной на всех подмножествах, которая была бы равна на конгруэнтных кусках. (Хаусдорф впервые показал в той же статье более простой результат: не существует счетно- аддитивной меры, определенной на всех подмножествах.) Структура группы вращений на сфере играет здесь решающую роль - утверждение неверно на плоскости или линия. В действительности, как позже показал Банах , ^[1] можно определить «площадь» для всех ограниченных подмножеств на евклидовой плоскости (а также «длину» на вещественной прямой) таким образом, чтобы конгруэнтные множества имели равную «площадь». (Однако эта банахова мера является лишь конечно-аддитивной, поэтому она не является мерой в полном смысле, но равна мере Лебега на множествах, для которых последняя существует.) Отсюда следует, что если два открытых подмножества плоскости (или вещественная линия) равноразложимы, то они имеют одинаковую площадь.

См. также [ править ]

Парадокс Банаха – Тарского – Геометрическая теорема
Парадоксы теории множеств

Ссылки [ править ]

^ Стефан Банах , «К проблеме измерения» , Fundamenta Mathematicae 4: стр. 7–33, 1923; Банах, «О разложении множеств точек на соответственно конгруэнтные части» , Теорема 16, Fundamenta Mathematicae 6: стр. 244–277, 1924.

Дальнейшее чтение [ править ]

Хаусдорф, Феликс (1914). «Замечание о содержании наборов точек» . Математические летописи . 75 (3): 428–434. дои : 10.1007/bf01563735 . S2CID 123243365 . (Оригинальная статья; на немецком языке)
Хаусдорф, Феликс (1914). Основы теории множеств (на немецком языке).

Внешние ссылки [ править ]

Парадокс Хаусдорфа на ProofWiki

[1] Стефан Банах , «К проблеме измерения» , Fundamenta Mathematicae 4: стр. 7–33, 1923; Банах, «О разложении множеств точек на соответственно конгруэнтные части» , Теорема 16, Fundamenta Mathematicae 6: стр. 244–277, 1924.

[1]