Пол Коэн

Пол Дж. Коэн
Пол Дж. Коэн
Рожденный	2 апреля 1934 г. ; Лонг-Бранч, Нью-Джерси , США
Умер	23 марта 2007 г. (72 года) ; Стэнфорд, Калифорния , США
Альма-матер	Чикагский университет ( MS , PhD )
Известный	Коэн заставляет ; Непрерывная гипотеза
Награды	Премия Бошера (1964). ; Медаль Филдса (1966) ; Национальная медаль науки (1967)
	Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Стэндфордский Университет
Докторантура	Антони Зигмунд
Докторанты	История Питера

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 г. - 23 марта 2007 г.) ^[1]был американским математиком. Он наиболее известен своими доказательствами того, что континуума и аксиома выбора независимы гипотеза от теории множеств Цермело-Френкеля , за что он был награжден Медалью Филдса . ^[2]

Молодость образование и

Коэн родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси , в еврейской семье, иммигрировавшей в Соединенные Штаты из нынешней Польши ; он вырос в Бруклине . ^[3]^[4] В 1950 году, в возрасте 16 лет, он окончил среднюю школу Стуйвесант в Нью-Йорке . ^[1]^[4]

Затем Коэн учился в Бруклинском колледже с 1950 по 1953 год, но ушел, не получив степени бакалавра, когда узнал, что может начать учебу в аспирантуре Чикагского университета , проучившись всего за два года в колледже. В Чикаго Коэн получил степень магистра математики в 1954 году и степень доктора философии в 1958 году под руководством Антони Зигмунда . Название его докторской диссертации было «Темы теории единственности тригонометрических рядов» . ^[5]

преподавателем математики в Рочестерском университете В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год . Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 год в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических прорывов. В работе «Факторизация в групповых алгебрах» (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решая проблему, поставленную Вальтером Рудином . В работе Коэна (1960) он совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда. ^[6]

Коэн был членом Американской академии искусств и наук . ^[7] США Национальная академия наук , ^[8] и Американское философское общество . ^[9] 2 июня 1995 года Коэн получил степень почётного доктора факультета науки и технологий Уппсальского университета , Швеция . ^[10]

Карьера [ править ]

Коэн известен разработкой математического метода, называемого принуждением , который он использовал, чтобы доказать, что ни гипотеза континуума (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны на основе стандартных аксиом Цермело-Френкеля (ZF) теории множеств . В сочетании с более ранней работой Гёделя это показало, что оба этих утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты на основе этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима и является наиболее широко известным примером естественного утверждения, независимого от стандартных аксиом ZF теории множеств.

За свой результат в области гипотезы континуума Коэн получил медаль Филдса по математике в 1966 году, а также Национальную медаль науки в 1967 году. ^[11] Медаль Филдса, которую выиграл Коэн, по состоянию на 2022 год остается единственной медалью Филдса, присуждаемой за работы в области математической логики.

Помимо своей работы в области теории множеств, Коэн также внес много ценных вкладов в анализ. Он был удостоен премии Мемориала Бошера в области математического анализа в 1964 году за статью «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах ». ^[12] и дал свое имя факторизационной теореме Коэна-Хьюитта .

Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете . Он был приглашенным докладчиком на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.

Ангус Макинтайр из Лондонского университета Королевы Марии заявил о Коэне: «Он был пугающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою «самую сложную проблему» Полу, которого я знал в 60-х». Далее он сравнил Коэна с Куртом Гёделем , сказав: «В истории этого предмета не произошло ничего более драматичного, чем их работа». ^[13] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство независимости [зависимости] гипотезы con[inuum]». Я думаю, что во всех существенных отношениях вы предоставили наилучшие доказательства, а это случается нечасто. Чтение вашего доказательства произвело на меня такое же приятное впечатление, как просмотр действительно хорошей пьесы». ^[14]

Гипотеза континуума

Изучая гипотезу континуума, Коэн сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди считали проблему безнадежной, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. безумие даже думать о проблеме». ^[15]

Точка зрения, которая, по мнению автора [Коэна], может в конечном итоге быть принята, заключается в том, что CH явно ложна. Основная причина принятия аксиомы бесконечности, вероятно, заключается в том, что мы считаем абсурдным думать, что процесс добавления только одного множества за раз может исчерпать всю Вселенную. Аналогично и с высшими аксиомами бесконечности. Сейчас $\aleph _{1}$ — это мощность множества счетных ординалов, и это всего лишь специальный и простейший способ генерации более высокого кардинала. Набор $C$ [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно аксиомой набора мощностей . Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить этот кардинал на основе идей, вытекающих из аксиомы замены , может когда-либо достичь $C$ .
Таким образом $C$ больше, чем $\aleph _{n},\aleph _{\omega },\aleph _{a}$ , где $a=\aleph _{\omega }$ и т. д. Эта точка зрения касается $C$ как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой невозможно приблизиться каким-либо поэтапным процессом построения. Возможно, последующие поколения увидят проблему яснее и выскажутся более красноречиво.
- Коэн (2008)

«Непреходящий и мощный продукт» работы Коэна над гипотезой континуума, который использовался «бесчисленным количеством математиков». ^[15] известно как «принуждение» и используется для построения математических моделей для проверки заданной гипотезы на истинность или ложность.

Незадолго до смерти Коэн прочитал лекцию с описанием своего решения проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетнему юбилею Гёделя в 2006 году в Вене . ^[16]

Смерть [ править ]

У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 года в Стэнфорде, штат Калифорния , после заболевания легких . ^[17]

Избранные публикации [ править ]

Коэн, Пол Джозеф (1958). «Темы теории единственности тригонометрических рядов» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2011 г. Проверено 19 февраля 2010 г.
Коэн, Пол Джозеф (1960). «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах». амер. Дж. Математика . 82 (2): 191–212. дои : 10.2307/2372731 . JSTOR 2372731 . МР 0133397 .
Коэн, Пол Джозеф (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ПМК 221287 . ПМИД 16578557 .
Коэн, Пол Джозеф (январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Бибкод : 1964PNAS...51..105C . дои : 10.1073/pnas.51.1.105 . ПМК 300611 . ПМИД 16591132 .
Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 151. ИСБН 978-0-486-46921-8 .

См. также [ править ]

алгебра Коэна

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Леви, Дон (28 марта 2007 г.). «Пол Коэн, обладатель высшей в мире премии по математике, умер в возрасте 72 лет» . Стэнфордский отчет . Проверено 31 октября 2007 г.
^ Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс .
^ Макинтайр, AJ «Пол Джозеф Коэн». Архивировано 25 декабря 2010 г. в Wayback Machine , Лондонское математическое общество . По состоянию на 3 марта 2011 г. «Происхождение Коэна было скромным. Он родился в Лонг-Бранч, штат Нью-Джерси, 2 апреля 1934 года в семье польских иммигрантов».
^ Перейти обратно: ^а ^б Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л .; Рид, Констанс , ред. (1990), «Пол Коэн», «Больше математических людей» , Харкорт Брейс Йованович, стр. 42–58 .
^ Коэн 1958 .
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Пол Джозеф Коэн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ «Пол Джозеф Коэн» . Американская академия искусств и наук . Проверено 22 августа 2022 г.
^ «Пол Дж. Коэн» . www.nasonline.org . Проверено 22 августа 2022 г.
^ «История участников APS» . search.amphilsoc.org . Проверено 22 августа 2022 г.
^ «Почетный доктор – Уппсальский университет, Швеция» . www.uu.se. Проверено 21 марта 2018 г.
^ «Национальная медаль науки президента: сведения о получателе — NSF — Национальный научный фонд» . www.nsf.gov . Проверено 21 марта 2018 г.
^ Коэн 1960 .
^ Дэвидсон, Кей (30 марта 2007 г.). «Пол Коэн — профессор Стэнфорда, признанный математик» . Хроники Сан-Франциско . Проверено 31 октября 2007 г.
^ Соломон Феферман , Редакционный проект Gödel: синопсис [1] стр. 11.
^ Перейти обратно: ^а ^б Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 31 октября 2007 г.
^ Видео лекции Пола Коэна, шесть частей, Столетие Гёделя, Вена, 2006 г., на YouTube
^ Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 13 июня 2020 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Акихиро Канамори , « Коэн и теория множеств », Бюллетень символической логики , том 14, номер 3, сентябрь 2008 г.
История, Питер (декабрь 2007 г.). «Вспоминая Пола Коэна» (PDF ) МАА Фокус 27 (9). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки: 21–22. ISSN 0731-2040 . Проверено 3 мая 2009 г.

Внешние ссылки [ править ]

О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Пол Джозеф Коэн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
Пол Джозеф Коэн в проекте «Математическая генеалогия»
paulcohen.org - памятный сайт, посвященный жизни Пола Коэна.
Стэнфордский некролог

[Stanford_obit-1] Перейти обратно: ^а ^б Леви, Дон (28 марта 2007 г.). «Пол Коэн, обладатель высшей в мире премии по математике, умер в возрасте 72 лет» . Стэнфордский отчет . Проверено 31 октября 2007 г.

[2] Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс .

[3] Макинтайр, AJ «Пол Джозеф Коэн». Архивировано 25 декабря 2010 г. в Wayback Machine , Лондонское математическое общество . По состоянию на 3 марта 2011 г. «Происхождение Коэна было скромным. Он родился в Лонг-Бранч, штат Нью-Джерси, 2 апреля 1934 года в семье польских иммигрантов».

[mmp-4] Перейти обратно: ^а ^б Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л .; Рид, Констанс , ред. (1990), «Пол Коэн», «Больше математических людей» , Харкорт Брейс Йованович, стр. 42–58 .

[FOOTNOTECohen1958-5] Коэн 1958 .

[6] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Пол Джозеф Коэн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[7] «Пол Джозеф Коэн» . Американская академия искусств и наук . Проверено 22 августа 2022 г.

[8] «Пол Дж. Коэн» . www.nasonline.org . Проверено 22 августа 2022 г.

[9] «История участников APS» . search.amphilsoc.org . Проверено 22 августа 2022 г.

[10] «Почетный доктор – Уппсальский университет, Швеция» . www.uu.se. Проверено 21 марта 2018 г.

[11] «Национальная медаль науки президента: сведения о получателе — NSF — Национальный научный фонд» . www.nsf.gov . Проверено 21 марта 2018 г.

[FOOTNOTECohen1960-12] Коэн 1960 .

[chronicle-13] Дэвидсон, Кей (30 марта 2007 г.). «Пол Коэн — профессор Стэнфорда, признанный математик» . Хроники Сан-Франциско . Проверено 31 октября 2007 г.

[14] Соломон Феферман , Редакционный проект Gödel: синопсис [1] стр. 11.

[nytimes-15] Перейти обратно: ^а ^б Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 31 октября 2007 г.

[16] Видео лекции Пола Коэна, шесть частей, Столетие Гёделя, Вена, 2006 г., на YouTube

[17] Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 13 июня 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

v т Это Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Germany Israel United States Sweden Japan Czech Republic Netherlands
Academics	CiNii MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
People	Deutsche Biographie
Other	SNAC IdRef

Молодость образование и ​