Идемпотентная мера

В математике идемпотентная мера метрической группы — это вероятностная мера , равная ее свертке с самой собой; другими словами, идемпотентная мера — это идемпотентный элемент топологической полугруппы вероятностных мер на данной метрической группе.

Явно, учитывая метрическую группу X меры µ и ν на X , свертка µ ∗ ν µ и две вероятностные и ν является мерой, заданной формулами

$(\mu *\nu )(A)=\int _{X}\mu (Ax^{-1})\,\mathrm {d} \nu (x)=\int _{X}\nu (x^{-1}A)\,\mathrm {d} \mu (x)$

для любого борелевского подмножества A из X . (Равенство двух интегралов следует из теоремы Фубини .) Что касается топологии слабой сходимости мер , то операция свертки превращает пространство вероятностных мер на X в топологическую полугруппу. Таким образом, µ называется идемпотентной мерой, если µ ∗ µ = µ .

Можно показать, что единственными идемпотентными вероятностными мерами на метрической группе полной сепарабельной являются нормированные меры Хаара компактных подгрупп .

Ссылки

• Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры в метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. стр. xii+276. ISBN  0-8218-3889-Х . МИСТЕР 2169627 (См. главу 3, раздел 3.)