от пункта Longchamps

Точка де Лонгшана L треугольника △ ABC , образованная как отражение ортоцентра H относительно центра описанной окружности O или как ортоцентр антидополнительного треугольника △ A'B'C'

В геометрии точка Лонгшана треугольника — это центр треугольника, названный в честь французского математика Гастона Альберта Гоьера де Лонгшана . Это отражение ортоцентра центра описанной треугольника относительно окружности .

Определение

Пусть данный треугольник имеет вершины $A$, $B$, и $C$, напротив соответствующих сторон $a$, $b$, и $c$, как это стандартное обозначение в геометрии треугольника. В статье 1886 года, в которой он представил эту точку, де Лоншан первоначально определил ее как центр круга. $\Delta$ ортогонально трем окружностям $\Delta _{a}$, $\Delta _{b}$, и $\Delta _{c}$, где $\Delta _{a}$ сосредоточен в $A$ с радиусом $a$ а два других круга определены симметрично. Де Лонгшан затем также показал, что ту же самую точку, теперь известную как точка де Лонгшана, можно эквивалентным образом определить как ортоцентр треугольника антидополнительного $ABC$, и что это отражение ортоцентра $ABC$ вокруг центра окружности.

Окружность Штейнера треугольника концентрична окружности из девяти точек и имеет радиус, равный 3/2 радиуса описанной окружности треугольника; точка де Лонгшана является гомотетическим центром окружности Штейнера и описанной окружности.

Дополнительные свойства

Как отражение ортоцентра вокруг центра описанной окружности точка Лонгшана принадлежит линии, проходящей через обе эти точки, которая является линией Эйлера данного треугольника. Таким образом, он коллинеарен всем остальным центрам треугольника на линии Эйлера, которые наряду с ортоцентром и центром описанной окружности включают в себя центр тяжести и центр девятиточечной окружности .

Точка де Лонгшана также коллинеарна, по другой линии, центру центра и точке Жергонна его треугольника. Три круга с центром в $A$, $B$, и $C$, с радиусами $s-a$, $s-b$, и $s-c$ соответственно (где $s$ — полупериметр ) взаимно касаются, и ко всем трем из них касаются еще две окружности — внутренняя и внешняя окружности Содди; центры этих двух окружностей также лежат на одной линии с точкой де Лонгшана и центром центра. Точка де Лонгшана — это точка совпадения этой линии с линией Эйлера и с тремя другими линиями, определяемыми аналогично линии, проходящей через центр треугольника, но с использованием вместо этого трех эксцентриков треугольника.

Кубику Дарбу можно определить из точки де Лонгшана как геометрическое место точек. $X$ такой, что $X$, изогонально сопряженное $X$, и точка де Лонгшана лежат на одной прямой. Это единственный инвариант кубической кривой треугольника, который одновременно изогонально самосопряжен и центрально симметричен; его центром симметрии является центр описанной окружности треугольника. Сама точка де Лонгшана лежит на этой кривой, как и ее отражение от ортоцентра.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Де Лонгшам Пойнт» . Математический мир .