ИСО 31-11

ISO 31-11:1992 был частью международного стандарта ISO 31 , который определяет математические знаки и символы для использования в физических науках и технологиях . В 2009 году он был заменен стандартом ISO 80000-2:2009 и впоследствии пересмотрен в 2019 году как ISO-80000-2:2019 .

Его определения включают следующее:

Математическая логика

Знак	Пример	Имя	Значение и словесный эквивалент	Примечания
∧	п ∧ q	соединения знак	п и д
∨	п ∨ q	дизъюнкции знак	p или q (или оба)
¬	¬ п	отрицания знак	отрицание р ; не п ; не п
⇒	п ⇒ д	знак импликации	если р, то q ; p подразумевает q	Также можно записать как q ⇐ p . Иногда используется →.
∀	∀ Икс ∈ А   п ( Икс ) (∀ Икс ∈ А ) п ( Икс )	универсальный квантор	для каждого x, принадлежащего A , утверждение p ( x ) истинно	Символ « е A » можно опустить, если A ясно из контекста.
∃	∃ Икс ∈ А   п ( Икс ) (∃ Икс ∈ А ) п ( Икс )	квантор существования	существует x, принадлежащий A , для которого утверждение p ( x ) истинно	Символ « е A » можно опустить, если A ясно из контекста. ∃! используется там, где существует ровно один x , для которого p ( x ) истинно.

Наборы

Знак	Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
∈	х € А	х принадлежит А ; x — элемент множества A
∉	х ∉ А	x не принадлежит A ; x не является элементом множества A	Штрих отрицания также может быть вертикальным.
∋	А ∋ х	набор A содержит x (как элемент)	то же значение, что и x ∈ A
∌	А ∌ х	множество A не содержит x (как элемент)	то же значение, что и x ∉ A
{ }	{ Икс 1 , Икс 2 , ..., Икс п }	набор из элементов x 1 , x 2 , ..., x n	также { Икс я | i ∈ I } , где I обозначает набор индексов
{ | }	{ Икс € А | п ( х )}	набор тех элементов A , для которых утверждение p ( x ) истинно	Пример: { Икс € ℝ | х > 5} A элемент можно отбросить. Если этот набор ясен из контекста, то
карта	карта( ​​А )	количество элементов в A ; кардинал А
∖	А ∖ Б	разница между А и Б ; А минус Б	Набор элементов, принадлежащих A но не принадлежащих B. , А ∖ B знак равно { Икс | Икс € А ∧ Икс ∉ В } A - B . Также можно использовать
∅		пустой набор
ℕ		набор натуральных чисел ; набор натуральных чисел и нуля	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Исключение нуля обозначается звездочкой : ℕ * = {1, 2, 3, ...} ℕ k = {0, 1, 2, 3, ..., k - 1}
ℤ		набор целых чисел	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ℤ * = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
ℚ		набор рациональных чисел	ℚ * = ℚ ∖ {0}
ℝ		набор действительных чисел	ℝ * = ℝ ∖ {0}
ℂ		набор комплексных чисел	ℂ * = ℂ ∖ {0}
[,]	[ а , б ]	закрытый интервал в ℝ от a (включительно) до b (включительно)	[ а , б ] знак равно { Икс ∈ ℝ | а ≤ х ≤ б }
],] (,]	] а , б ] ( а , б ]	левый полуоткрытый интервал в ℝ от a (исключено) до b (включено)	] а , б ] знак равно { Икс ∈ ℝ | а < х ≤ б }
[,[ [,)	[ а , б [ [ а , б )	правый полуоткрытый интервал в ℝ от a (включено) до b (исключено)	[ а , б [ знак равно { Икс ∈ ℝ | а ≤ х < б }
],[ (,)	] а , б [ ( а , б )	открытый интервал в ℝ от a (исключено) до b (исключено)	] а , б [ знак равно { Икс ∈ ℝ | а < х < б }
⊆	Б ⊆ А	B включен в A ; B является подмножеством A	элемент B принадлежит A. Каждый ⊂ также используется.
⊂	Б ⊂ А	B правильно включен в A ; B является собственным подмножеством A	Каждый элемент B принадлежит A , но B равен A. не Если ⊂ используется для обозначения «включено», то ⊊ следует использовать для обозначения «включено должным образом».
⊈	С ⊈ А	C не входит в A ; C не является подмножеством A	⊄ также используется.
⊇	А ⊇ Б	A включает B (как подмножество)	A содержит каждый элемент B . ⊃ также используется. B ⊆ A означает то же самое, A ⊇ B. что
⊃	А ⊃ Б. ​	A включает B. правильно	A содержит все элементы B , но A не B. равно Если ⊃ используется для обозначения «включает», то ⊋ следует использовать для обозначения «включает правильно».
⊉	А ⊉ С	A не включает C (как подмножество)	⊅ также используется. A ⊉ C означает то же самое, C ⊈ A. что
∪	А ∪ Б	союз А и Б	принадлежащих A , B или обоим A и B. Набор элементов , А ∪ B знак равно { Икс | Икс € А ∨ Икс € В }
⋃	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$	объединение набора множеств	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$, множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств 1 , ..., An A . $\bigcup {}_{i=1}^{n}$ и $\bigcup _{i\in I}$, $\bigcup {}_{i\in I}$ также используются, где I обозначает набор индексов.
∩	А ∩ Б	пересечение улиц А и Б	Набор элементов, принадлежащих как A , так и B . А ∩ B знак равно { Икс | Икс € А ∧ Икс € В }
⋂	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$	пересечение набора множеств	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$, множество элементов, принадлежащих всем множествам 1 , ..., An A . $\bigcap {}_{i=1}^{n}$ и $\bigcap _{i\in I}$, $\bigcap {}_{i\in I}$ также используются, где I обозначает набор индексов.
∁	∁ A B	дополнение подмножества B из A	Множество тех элементов A которые не принадлежат подмножеству B. , Символ A часто опускается, если набор A ясен из контекста. Также ∁ А B знак равно А ∖ B .
(,)	( а , б )	упорядоченная пара a , b ; пара а , б	( a , b ) = ( c , d ) тогда и только тогда, когда a = c и b = d . ⟨ a , b ⟩ также используется.
(,...,)	( а 1 , а 2 , ... н ) ,	упорядоченный n - кортеж	⟨ a 1 , a 2 ..., n ⟩ , также используется.
×	А × Б	декартово произведение A и B	Множество упорядоченных пар ( a , b ) таких, a ∈ A и b ∈ B. что А × B знак равно { ( а , б ) | а € А ∧ б € В } A × A × ⋯ × A обозначается A н , где n — количество факторов в произведении.
Д	ΔΔА	множество пар ( a , a ) ∈ A × A , где a ∈ A ; диагональ множества A × A	Δ А знак равно { ( а , а ) | а € А } id A также используется.

Разные знаки и символы

Знак		Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
HTML	ТеХ
≝	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$	$a\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ b$	a по определению равен b	:= также используется
=	$=$	а = б	а равно б	≡ может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретное равенство является тождеством.
≠	$\neq$	а ≠ б	а не равно б	$a\not \equiv b$ может использоваться, чтобы подчеркнуть, что a не тождественно равно b .
≙	${\stackrel {\wedge }{=}}$	$a\ {\stackrel {\wedge }{=}}\ b$	а соответствует б	В 1:10 6 карта: $1{\text{ cm }}{\stackrel {\wedge }{=}}\ 10{\text{ km}}$.
≈	$\approx$	а ≈ б	а приблизительно равно b	Символ ≃ зарезервирован для обозначения «асимптотически равно».
∼ ∝	${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$	а ∼ б а ∝ б	а пропорционально b
<	$<$	а < б	а меньше b
>	$>$	а > б	а больше, чем б
≤	$\leq$	а ≤ б	a меньше или равно b	Также используется символ ≦.
≥	$\geq$	а ≥ б	a больше или равно b	Также используется символ ≧.
≪	$\ll$	а ≪ б	а намного меньше b
≫	$\gg$	а ≫ б	а намного больше, чем b
∞	$\infty$		бесконечность
() [] {} ⟨⟩	${\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}$	ac + bc , круглые скобки ac + bc , квадратные скобки ac + bc , фигурные скобки ac + bc , угловые скобки	В обычной алгебре последовательность $(),[],\{\},\langle \rangle$порядок вложенности не стандартизирован. Специальное использование осуществляется из $(),[],\{\},\langle \rangle$ в конкретных областях.
∥	$\|$	АВ ∥ CD	прямая АВ параллельна прямой CD
⊥	$\perp$	АВ ⊥ CD	прямая AB перпендикулярна прямой CD

Операции

Знак	Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
+	а + б	а плюс б
−	а - б	а минус б
±	а ± б	а плюс или минус б
∓	а ∓ б	а минус или плюс б	-( а ± б ) знак равно - а ∓ б

Функции

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
е : Д → С	функция f имеет область определения D и область определения C	Используется для явного определения домена и кодомена функции.
е ( С )	{ ж ( Икс ) | х € S }	Набор всех возможных выходных данных в кодомене при наличии входных данных из S , подмножества домена f .

Экспоненциальные и логарифмические функции

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
Это	основание натуральных логарифмов	е = 2,718 28...
Это Икс	показательная функция по основанию e числа x
записать х ​	логарифм по основанию а от х
фунт х	двоичный логарифм (по основанию 2) от x	фунт х = журнал 2 х
пер х	натуральный логарифм (по основанию e) числа x	ln x = log e x
LG х	десятичный логарифм (по основанию 10) от x	lg х = журнал 10 х

Круговые и гиперболические функции

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
Пи	отношение длины окружности к ее диаметру	π ≈ 3,141 59

Комплексные числа

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
я, дж	мнимая единица ; я 2 = −1	В электротехнике обычно используется j.
Ре з	действительная z часть	z = x + i y , где x = Re z и y = Im z
з В	мнимая z часть
| с |	абсолютное z ; значение модуль z	мод z также используется
аргумент z	аргумент z ; фаза z	z = р е я φ , где р = | г | и φ = arg z , т.е. Re z = r cos φ и Im z = r sin φ
С *	(комплексное сопряжение z )	черта над z используется иногда вместо z *
знак z	знак z	знак z знак равно z / | г | = exp(i arg z ) для z ≠ 0, знак 0 = 0

Матрицы

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
А	матрица А

Системы координат

Координаты	Вектор положения и его дифференциал	Название системы координат	Примечания
х , у , я	[ Икс у z ] ; [ дх ди дз ]	декартовский	x 1 , x 2 , x 3 для координат и e 1 , e 2 , e 3 Также используются для базовых векторов. Эти обозначения легко обобщаются на n -мерное пространство. e x , e y , e z образуют ортонормированную правую систему. Для базовых векторов i , j , k также используются .
р , ж , з	[ Икс , y , z ] знак равно [ ρ cos( φ ), ρ sin( φ ), z ]	цилиндрический	e ρ ( φ ), e φ ( φ ), e z образуют ортонормированную правую систему. Если z = 0, то ρ и φ — полярные координаты.
р , я , ж	[ Икс , y , z ] знак равно р [грех ( θ ) cos ( φ ), грех ( θ ) грех ( φ ), потому что ( θ )]	сферический	e r ( θ , φ ), e θ ( θ , φ ), e φ ( φ ) образуют ортонормированную правую систему.

Векторы и тензоры

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
а ${\vec {a}}$	вектор а	Вместо жирного курсива векторы также можно обозначать стрелкой над буквенным символом. Любой вектор a можно умножить на скаляр k , т. е. k a .

Специальные функции

Пример	Значение и словесный эквивалент	Примечания
j л ( х )	цилиндрические функции Бесселя (первого рода)	...

См. также

• Математические символы
• Математические обозначения