Список математических констант

Математическая константа — это ключевое число , значение которого фиксируется однозначным определением, которое часто обозначается символом (например, буквой алфавита ) или именами математиков, чтобы облегчить его использование в различных математических задачах . Например, константу π можно определить как отношение длины окружности к ее диаметру . Следующий список включает десятичное расширение и набор, содержащий каждое число, упорядоченное по году открытия.

Щелкая по заголовкам столбцов, можно сортировать таблицу по алфавиту, по десятичному значению или по набору. Пояснения к символам в правом столбце можно найти, щелкнув по ним.

Список

Имя	Символ	Десятичное расширение	Формула	Год	Набор
Один	1	1		Предыстория	$\mathbb {N}$
Два	2	2		Предыстория	$\mathbb {N}$
Одна половина	1/2	0.5		Предыстория	$\mathbb {Q}$
Пи	$\pi$	3.14159 26535 89793 23846	Отношение длины окружности к ее диаметру.	1900–1600 гг. до н. э.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Да	$\tau$	6.28318 53071 79586 47692	Отношение длины окружности к ее радиусу. Эквивалентно $2\pi$	1900–1600 гг. до н. э.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Квадратный корень из 2 , PythagorasПифагор	${\sqrt {2}}$	1.41421 35623 73095 04880	Положительный корень $x^{2}=2$	1800–1600 гг. до н. э.	$\mathbb {A}$
Квадратный корень из 3 , Константа Теодора	${\sqrt {3}}$	1.73205 08075 68877 29352	Положительный корень $x^{2}=3$	465–398 гг. до н.э.	$\mathbb {A}$
Квадратный корень из 5	${\sqrt {5}}$	2.23606 79774 99789 69640	Положительный корень $x^{2}=5$		$\mathbb {A}$
Фи, Золотое сечение	$\varphi$ или $\phi$	1.61803 39887 49894 84820	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	~ 300 г. до н. э.	$\mathbb {A}$
Соотношение серебра	$\delta _{S}$	2.41421 35623 73095 04880	${\sqrt {2}}+1$	~ 300 г. до н. э.	$\mathbb {A}$
Нуль	0	0		300–100 гг. до н.э.	$\mathbb {Z}$
Отрицательный	−1	−1		300–200 гг. до н. э.	$\mathbb {Z}$
Кубический корень из 2	${\sqrt[{3}]{2}}$	1.25992 10498 94873 16476	Настоящий корень $x^{3}=2$	с 46 по 120 год н. э.	$\mathbb {A}$
Кубический корень из 3	${\sqrt[{3}]{3}}$	1.44224 95703 07408 38232	Настоящий корень $x^{3}=3$		$\mathbb {A}$
Двенадцатый корень из 2	${\sqrt[{12}]{2}}$	1.05946 30943 59295 26456	Настоящий корень $x^{12}=2$		$\mathbb {A}$
Суперзолотое сечение	$\psi$	1.46557 12318 76768 02665	${\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {29+3{\sqrt {93}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}$ Настоящий корень $x^{3}=x^{2}+1$		$\mathbb {A}$
Мнимая единица	$i$	0 + 1 я	Главный корень $x^{2}=-1$	1501–1576 гг.	$\mathbb {C}$
Константа связности для гексагональной решетки	$\mu$	1.84775 90650 22573 51225	${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$, как корень многочлена $x^{4}-4x^{2}+2=0$	1593	$\mathbb {A}$
Постоянная Кеплера-Бувкампа	$K'$	0.11494 20448 53296 20070	$\prod _{n=3}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)...$	1596
Уоллиса постоянная		2.09455 14815 42326 59148	${\sqrt[{3}]{\frac {45-{\sqrt {1929}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {45+{\sqrt {1929}}}{18}}}$ Настоящий корень $x^{3}-2x-5=0$	1616–1703 гг.	$\mathbb {A}$
число Эйлера	$e$	2.71828 18284 59045 23536	$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}\cdots$	1618	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Натуральный логарифм 2	$\ln 2$	0.69314 71805 59945 30941	Настоящий корень $e^{x}=2$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$	1619 & 1668 г.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Лемниската постоянная	$\varpi$	2.62205 75542 92119 81046	$\pi \,{G}=4{\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}\,\Gamma {\left({\tfrac {5}{4}}\right)^{2}}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}\,\Gamma {\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}}$ где $G$ Гаусса постоянная	1718–1798 гг.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Эйлера	$\gamma$	0.57721 56649 01532 86060	$\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx$	1735
Константа Эрдеша – Борвейна	$E$	1.60669 51524 15291 76378	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}={\frac {1}{1}}\!+\!{\frac {1}{3}}\!+\!{\frac {1}{7}}\!+\!{\frac {1}{15}}\!+\!\cdots$	1749	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Омега-константа	$\Omega$	0.56714 32904 09783 87299	$W(1)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt$ где W — W-функция Ламберта	1758 и 1783 гг.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Апери	$\zeta (3)$	1.20205 69031 59594 28539	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\cdots$	1780	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Предел Лапласа		0.66274 34193 49181 58097	Настоящий корень ${\frac {xe^{\sqrt {x^{2}+1}}}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}=1$	~1782	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Постоянная Солднера	$\mu$	1.45136 92348 83381 05028	$\mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=0$; корень логарифмической интегральной функции.	1792
постоянная Гаусса	$G$	0.83462 68416 74073 18628	${\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{4}})^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ где agm — среднее арифметико-геометрическое	1799	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Второй постоянный Отшельник	$\gamma _{2}$	1.15470 05383 79251 52901	${\frac {2}{\sqrt {3}}}$	1822–1901 гг.	$\mathbb {A}$
постоянная Лиувилля	$L$	0.11000 10000 00000 00000 0001	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n!}}}={\frac {1}{10^{1!}}}+{\frac {1}{10^{2!}}}+{\frac {1}{10^{3!}}}+{\frac {1}{10^{4!}}}+\cdots$	До 1844 г.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Первая цепной дроби константа	$C_{1}$	0.69777 46579 64007 98201	${\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2+{\tfrac {1}{3+{\tfrac {1}{4+{\tfrac {1}{5+\cdots }}}}}}}}}}$ ${\frac {I_{1}(2)}{I_{0}(2)}}$, где $I_{\alpha }(x)$ — модифицированная функция Бесселя	1855	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
постоянная Рамануджана		262 53741 26407 68743 .99999 99999 99250 073	$e^{\pi {\sqrt {163}}}$	1859	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Глейшера – Кинкелина	$A$	1.28242 71291 00622 63687	$e^{{\frac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1)}=e^{{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$	1860
каталонская константа	$G$	0.91596 55941 77219 01505	$\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!{\frac {dx\,dy}{1{+}x^{2}y^{2}}}=\!\sum _{n=0}^{\infty }\!{\frac {(-1)^{n}}{(2n{+}1)^{2}}}\!=\!{\frac {1}{1^{2}}}{-}{\frac {1}{3^{2}}}{+}{\cdots }$	1864
Число Дотти		0.73908 51332 15160 64165	Настоящий корень $\cos x=x$	1865	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Мейселя-Мертенса	$M$	0.26149 72128 47642 78375	$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=\gamma +\sum _{p}\left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right)$ где γ — постоянная Эйлера–Машерони , а p — простое число.	1866 и 1873 гг.
Универсальная параболическая константа	$P$	2.29558 71493 92638 07403	$\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\;=\;\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}$	До 1891 г.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Каэна	$C$	0.64341 05462 88338 02618	$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{s_{k}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}{\,\pm \cdots }$ где s k — k-й член последовательности Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807, ...	1891	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Гельфонда	$e^{\pi }$	23.14069 26327 79269 0057	$(-1)^{-i}=i^{-2i}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=1+{\frac {\pi ^{1}}{1}}+{\frac {\pi ^{2}}{2}}+{\frac {\pi ^{3}}{6}}+\cdots$	1900	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Гельфонда – Шнайдера	$2^{\sqrt {2}}$	2.66514 41426 90225 18865		До 1902 года	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Вторая константа Фавара	$K_{2}$	1.23370 05501 36169 82735	${\frac {\pi ^{2}}{8}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots$	1902 по 1965 год	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Золотой угол	$g$	2.39996 32297 28653 32223	${\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}})$ или $180(3-{\sqrt {5}})=137.50776\ldots$ в градусах	1907	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Серпинского	$K$	2.58498 17595 79253 21706	${\begin{aligned}&\pi \left(2\gamma +\ln {\frac {4\pi ^{3}}{\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{4}}}\right)=\pi (2\gamma +4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\ln \pi )\\&=\pi \left(2\ln 2+3\ln \pi +2\gamma -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\end{aligned}}$	1907
Константа Ландау – Рамануджана	$K$	0.76422 36535 89220 66299	${\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{{p\equiv 3{\text{ mod }}4} \atop p\;{\rm {prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}\!\!={\frac {\pi }{4}}\prod _{{p\equiv 1{\text{ mod }}4} \atop p\;{\rm {prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	1908
Первая Нильсена – Рамануджана константа	$a_{1}$	0.82246 70334 24113 21823	${\frac {{\zeta }(2)}{2}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}{-}{\frac {1}{2^{2}}}{+}{\frac {1}{3^{2}}}{-}{\frac {1}{4^{2}}}{+}\cdots$	1909	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Гизекинга	$G$	1.01494 16064 09653 62502	${\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(3n+2)^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(3n+1)^{2}}}\right)=$ $\textstyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{10^{2}}}\pm \cdots \right)$.	1912
постоянная Бернштейна	$\beta$	0.28016 94990 23869 13303	$\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f)$, где En (f) — ошибка наилучшего равномерного приближения вещественной функции f ( x ) на интервале [−1, 1] вещественными многочленами степени не выше n , а f ( x ) = | х |	1913
Стоимость Трибоначчи		1.83928 67552 14161 13255	${\textstyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}}$ Настоящий корень $x^{3}-x^{2}-x-1=0$	1914 по 1963 год	$\mathbb {A}$
постоянная Брюна	$B_{2}$	1.90216 05831 04	$\textstyle {\sum \limits _{p}({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}})}=({\frac {1}{3}}\!+\!{\frac {1}{5}})+({\tfrac {1}{5}}\!+\!{\tfrac {1}{7}})+({\tfrac {1}{11}}\!+\!{\tfrac {1}{13}})+\cdots$ где сумма распространяется на все простые числа p, такие что p + 2 также является простым числом.	1919
Константа простых чисел-близнецов	$C_{2}$	0.66016 18158 46869 57392	$\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)$	1922
Пластиковое соотношение	$\rho$	1.32471 79572 44746 02596	${\sqrt[{3}]{1+\!{\sqrt[{3}]{1+\!{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}=\textstyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {69}}{18}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {69}}{18}}}}$ Настоящий корень $x^{3}=x+1$	1924	$\mathbb {A}$
постоянная Блоха	$B$	$0.4332\leq B\leq 0.4719$	Наиболее известные границы: ${\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}$	1925
Оценка Z для процентиля 97,5	$z_{.975}$	1.95996 39845 40054 23552	${\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(0.95)$ где эрф −1 ( x ) — обратная функция ошибок Настоящий номер $z$ такой, что ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=0.975$	1925
постоянная Ландау	$L$	$0.5<L\leq 0.54326$	Наиболее известные границы: $0.5<L\leq {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1}{6}})}}$	1929
Третья константа Ландау	$A$	$0.5<A\leq 0.7853$		1929
Константа Пруэ–Тюэ–Морса	$\tau$	0.41245 40336 40107 59778	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n+1}}}={\frac {1}{4}}\left[2-\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right)\right]$ где ${t_{n}}$ затем ​ й член последовательности Туэ – Морса	1929	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Голомба – Дикмана	$\lambda$	0.62432 99885 43550 87099	$\int _{0}^{1}e^{\mathrm {Li} (t)}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt$ где Li( t ) — логарифмический интеграл, а ρ ( t ) — функция Дикмана	1930 и 1964 годы
Константа, связанная с асимптотическим поведением констант Лебега.	$c$	0.98943 12738 31146 95174	$\lim _{n\to \infty }\!\!\left(\!{L_{n}{-}{\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln(2n{+}1)}\!\!\right)\!{=}{\frac {4}{\pi ^{2}}}\!\left({\sum _{k=1}^{\infty }\!{\frac {2\ln k}{4k^{2}{-}1}}}{-}{\frac {\Gamma '({\tfrac {1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}}\!\!\right)$	1930
Констант Феллер-Торнье	${\mathcal {C}}_{\mathrm {FT} }$	0.66131 70494 69622 33528	${{\frac {1}{2}}\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}}={\frac {3}{\pi ^{2}}}\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}-1}}\right)+{\frac {1}{2}}$	1932
По основанию 10 константа Чамперноуна	$C_{10}$	0.12345 67891 01112 13141	Определяется путем объединения представлений последовательных целых чисел: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...	1933	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Салемская постоянная	$\sigma _{10}$	1.17628 08182 59917 50654	Самый большой действительный корень $x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1=0$	1933	$\mathbb {A}$
постоянная Хинчина	$K_{0}$	2.68545 20010 65306 44530	$\prod _{n=1}^{\infty }\left[{1+{1 \over n(n+2)}}\right]^{\log _{2}(n)}$	1934
Константа Леви (1)	$\beta$	1.18656 91104 15625 45282	${\frac {\pi ^{2}}{12\,\ln 2}}$	1935
Константа Леви (2)	$e^{\beta }$	3.27582 29187 21811 15978	$e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}$	1936
Константа Коупленда – Эрдоша	${\mathcal {C}}_{CE}$	0.23571 11317 19232 93137	Определяется путем объединения представлений последовательных простых чисел: 0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 ...	1946	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
постоянная Миллса	$A$	1.30637 78838 63080 69046	Наименьшее положительное действительное число A такое, что $\lfloor A^{3^{n}}\rfloor$ является простым для всех натуральных чисел n	1947
постоянная Гомпертца	$\delta$	0.59634 73623 23194 07434	$\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx=\!\!\int _{0}^{1}\!\!{\frac {dx}{1-\ln x}}={\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {2}{1+{\tfrac {2}{1+{\tfrac {3}{1+3{/\cdots }}}}}}}}}}}}}$	До 1948 года
постоянная де Брейна – Ньюмана	$\Lambda$	$0\leq \Lambda \leq 0.2$	Число Λ такое, что $H(\lambda ,z)=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du$ имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. где $\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}$.	1950
Ван дер Пау последовательно	${\frac {\pi }{\ln 2}}$	4.53236 01418 27193 80962		До 1958 года	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Магический угол	$\theta _{\mathrm {m} }$	0.95531 66181 245092 78163	$\arctan {\sqrt {2}}=\arccos {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\approx \textstyle {54.7356}^{\circ }$	До 1959 года	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Артина	$C_{\mathrm {Artin} }$	0.37395 58136 19202 28805	$\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)$	До 1961 года
постоянная Портера	$C$	1.46707 80794 33975 47289	${\frac {6\ln 2}{\pi ^{2}}}\left(3\ln 2+4\,\gamma -{\frac {24}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)-2\right)-{\frac {1}{2}}$ где γ — постоянная Эйлера–Машерони , а ζ '(2) — производная дзета-функции Римана, оцененная при s = 2.	1961
постоянная Лоха	$L$	0.97027 01143 92033 92574	${\frac {6\ln 2\ln 10}{\pi ^{2}}}$	1964
Константа тессеракта ДеВиччи		1.00743 47568 84279 37609	Самый большой куб, который может пройти в 4D-гиперкубе. Положительный корень $4x^{8}{-}28x^{6}{-}7x^{4}{+}16x^{2}{+}16=0$	1966	$\mathbb {A}$
Квадратная ледяная постоянная Либа		1.53960 07178 39002 03869	$\left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}$	1967	$\mathbb {A}$
постоянная Нивена	$C$	1.70521 11401 05367 76428	$1+\sum _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (n)}}\right)$	1969
постоянная Стивенса		0.57595 99688 92945 43964	$\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)$	1969
Обычная последовательность складывания бумаги	$P$	0.85073 61882 01867 26036	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8^{2^{n}}}{2^{2^{n+2}}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {\tfrac {1}{2^{2^{n}}}}{1-{\tfrac {1}{2^{2^{n+2}}}}}}$	1970	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Обратная константа Фибоначчи	$\psi$	3.35988 56662 43177 55317	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+\cdots$ где F n - это n й Число Фибоначчи	1974	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Константа Хватала – Санкова для двоичного алфавита	$\gamma _{2}$	$0.788071\leq \gamma _{2}\leq 0.826280$	$\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {E} [\lambda _{n,2}]}{n}}$ где E[ λ n ,2 ] — ожидаемая самая длинная общая подпоследовательность двух случайных длины n двоичных строк .	1975
Константа фигового дерева δ	$\delta$	4.66920 16091 02990 67185	$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+2}-x_{n+1}}}$ где последовательность x n определяется выражением $x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})$	1975
Константы Чайтина	$\Omega$	В общем, это неисчислимые числа . Но одно такое число — 0,00787 49969 97812 3844.	$\sum _{p\in P}2^{-|p|}$ p : Остановленная программа | р | : Размер программы p в битах P : Домен всех программ, которые останавливаются. См. также: Проблема остановки	1975	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
постоянная Роббинса	$\Delta (3)$	0.66170 71822 67176 23515	${\frac {4\!+\!17{\sqrt {2}}\!-6{\sqrt {3}}\!-7\pi }{105}}\!+\!{\frac {\ln(1\!+\!{\sqrt {2}})}{5}}\!+\!{\frac {2\ln(2\!+\!{\sqrt {3}})}{5}}$	1977	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Вейерштрасса постоянная		0.47494 93799 87920 65033	${\frac {2^{5/4}{\sqrt {\pi }}\,e^{\pi /8}}{\Gamma ({\frac {1}{4}})^{2}}}$	До 1978 года	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Франсена-Робинсона	$F$	2.80777 02420 28519 36522	$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\Gamma (x)}}=e+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{\pi ^{2}+\ln ^{2}x}}\,dx$	1978
Константа фигового дерева α	$\alpha$	2.50290 78750 95892 82228	Отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подзубцов на бифуркационной диаграмме.	1979
Секунда постоянной Буа-Реймона	$C_{2}$	0.19452 80494 65325 11361	${\frac {e^{2}-7}{2}}=\int _{0}^{\infty }\left|{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{2}}\right|\,dt-1$	1983	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Эрдеша – Тененбаума – Форда	$\delta$	0.08607 13320 55934 20688	$1-{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}$	1984
постоянная Конвея	$\lambda$	1.30357 72690 34296 39125	Действительный корень многочлена: ${\begin{smallmatrix}x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}\\-x^{59}+2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}\\+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}\\-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}\\-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-7x^{21}+9x^{20}\\+3x^{19}\!-4x^{18}\!-10x^{17}\!-7x^{16}\!+12x^{15}\!+7x^{14}\!+2x^{13}\!-12x^{12}\!-4x^{11}\!-2x^{10}\\+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6\ =\ 0\quad \quad \quad \end{smallmatrix}}$	1987	$\mathbb {A}$
Константа Хафнера – Стори – МакКерли	$\sigma$	0.35323 63718 54995 98454	$\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-\left(1-\prod _{n\geq 1}\left(1-{\frac {1}{p^{n}}}\right)\right)^{2}\right)}\!$	1991
Постоянная Бэкхауза	$B$	1.45607 49485 82689 67139	$\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {q_{k+1}}{q_{k}}}\right\vert \quad \scriptstyle {\text{where:}}\displaystyle \;\;Q(x)={\frac {1}{P(x)}}=\!\sum _{k=1}^{\infty }q_{k}x^{k}$ $P(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{p_{k}x^{k}}=1+2x+3x^{2}+5x^{3}+\cdots$где p k - это k й простое число	1995
постоянная Вишваната		1.13198 82487 943	$\lim _{n\to \infty }|f_{n}|^{\frac {1}{n}}$ где f n = f n −1 ± f n −2 , где знаки + или − выбираются случайным образом с равной вероятностью 1/2	1997
Константа судебного пристава-Лорети	$q$	1.78723 16501 82965 93301	Настоящий номер $q$ такой, что $1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}$, или $\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{n}}}}\right)+{\frac {q-2}{q-1}}=0$ где t k - это k й член последовательности Туэ – Морса	1998	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Константа Эмбри – Трефетена	$\beta ^{\star }$	0.70258		1999
Константа Хита-Брауна-Мороза	$C$	0.00131 76411 54853 17810	$\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)$	1999
константа MRB	$S$	0.18785 96424 62067 12024	$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(n^{1/n}-1)=-{\sqrt[{1}]{1}}+{\sqrt[{2}]{2}}-{\sqrt[{3}]{3}}+\cdots$	1999
Первичная константа	$\rho$	0.41468 25098 51111 66024	$\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{2^{p}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}+\cdots$	1999	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Квадратичная константа рекуррентности Сомоса	$\sigma$	1.66168 79496 33594 12129	$\prod _{n=1}^{\infty }n^{{1/2}^{n}}={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3\cdots }}}}}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\cdots$	1999
постоянная Фойаса	$\alpha$	1.18745 23511 26501 05459	$x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}{\text{ for }}n=1,2,3,\ldots$ Константа Фоиаса — это уникальное действительное число, такое, что если x 1 = α , то последовательность расходится до бесконечности.	2000
Логарифмическая емкость единичного диска		0.59017 02995 08048 11302	${\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}}{4\pi ^{3/2}}}$	До 2003 г.	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
константа Танигучи		0.67823 44919 17391 97803	$\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)$	До 2005 г.

представлению в виде цепных дробей

Следующий список включает непрерывные дроби некоторых констант и отсортирован по их представлениям. Непрерывные дроби с более чем 20 известными членами были усечены с многоточием , чтобы показать, что они продолжаются. Рациональные числа имеют две непрерывные дроби; версия в этом списке более короткая. Десятичные представления округляются или дополняются до 10 знаков, если значения известны.

Имя	Символ	Набор	Десятичное расширение	Непрерывная дробь	Примечания
Нуль	0	$\mathbb {Z}$	0.00000 00000	[0; ]
Константа Голомба – Дикмана	$\lambda$		0.62432 99885	[0; 1, 1, 1, 1, 1, 22, 1, 2, 3, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 22, 2, 6, 1, 1, …]	Э. Вейсштейн отметил, что в цепной дроби необычно большое количество единиц.
постоянная Каэна	$C_{2}$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$	0.64341 05463	[0; 1, 1, 1, 2 2 , 3 2 , 13 2 , 129 2 , 25298 2 , 420984147 2 , 269425140741515486 2 , …]	Все термины имеют квадратную форму и сокращены до 10 из-за большого размера. Дэвисон и Шалит использовали разложение цепной дроби, чтобы доказать, что константа трансцендентна.
Константа Эйлера – Маскерони	$\gamma$		0.57721 56649	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, …]	С помощью разложения цепной дроби было показано, что если γ рационально, то ее знаменатель должен превышать 10. 244663 .
Первая цепной дроби константа	$C_{1}$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$	0.69777 46579	[0; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, …]	Равно отношению $I_{1}(2)/I_{0}(2)$ модифицированных функций Бесселя первого рода, оцененных в 2.
каталонская константа	$G$		0.91596 55942	[0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, …]	Вычислено Э. Вейсштейном до 4 851 389 025 членов.
Одна половина	1/2	$\mathbb {Q}$	0.50000 00000	[0; 2]
Константа Пруэ–Тюэ–Морса	$\tau$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$	0.41245 40336	[0; 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …]	Бесконечно много частных частных равны 4 или 5, и бесконечно много частных частных больше или равны 50.
Константа Коупленда – Эрдоша	${\mathcal {C}}_{CE}$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$	0.23571 11317	[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 6, 2, 9, 58, 1, 3, 4, …]	до 1 011 597 392 Вычислено Э. Вейсштейном членов. Он также отметил, что, хотя непрерывная дробь константы Чамперноуна содержит спорадические большие члены, непрерывная дробь константы Коупленда – Эрдеша не проявляет этого свойства.
По основанию 10 константа Чамперноуна	$C_{10}$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$	0.12345 67891	[0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4.57540 × 10 165 , 6, 1, …]	Константы Чамперноуна в любой базе имеют спорадические большие числа; 40-й срок в $C_{10}$ имеет 2504 цифры.
Один	1	$\mathbb {N}$	1.00000 00000	[1; ]
Фи, Золотое сечение	$\varphi$	$\mathbb {A}$	1.61803 39887	[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …]	Сходящиеся числа представляют собой отношения последовательных чисел Фибоначчи .
постоянная Брюна	$B_{2}$		1.90216 05831	[1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, …]	Затем ​ й корни знаменателей n й сходящиеся точки близки к постоянной Хинчина , что позволяет предположить, что $B_{2}$иррационально. Если это правда, это докажет гипотезу о простых числах-близнецах .
Квадратный корень из 2	${\sqrt {2}}$	$\mathbb {A}$	1.41421 35624	[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, …]	Подходящие числа представляют собой отношения последовательных чисел Пелля .
Два	2	$\mathbb {N}$	2.00000 00000	[2; ]
число Эйлера	$e$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$	2.71828 18285	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, …]	Расширение непрерывной дроби имеет закономерность [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, ..., 1, 2 н , 1, ...].
постоянная Хинчина	$K_{0}$		2.68545 20011	[2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, …]	Почти для всех действительных чисел x коэффициенты цепной дроби x имеют конечное среднее геометрическое, известное как константа Хинчина.
Три	3	$\mathbb {N}$	3.00000 00000	[3; ]
Пи	$\pi$	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$	3.14159 26536	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, …]	Первые несколько конвергентов (3, 22/7, 333/106, 355/113, ...) являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений π .

Последовательности констант

Имя	Символ	Формула	Год	Набор
Номер гармоники	$H_{n}$	$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$	Античность	$\mathbb {Q}$
Коэффициенты Грегори	$G_{n}$	${\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx$	1670	$\mathbb {Q}$
число Бернулли	$B_{n}^{\pm }$	${\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\pm 1\right)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{\pm {}}t^{m}}{m!}}$	1689	$\mathbb {Q}$
Постоянный отшельник	$\gamma _{n}$	Для решетки L в евклидовом пространстве R н с единичным кообъемом, т.е. vol( R н / L ) = 1, пусть λ 1 ( L ) обозначает наименьшую длину ненулевого элемента решетки L. Тогда √γ n n — максимум λ 1 (L) по всем таким решеткам L.	1822–1901 гг.	$\mathbb {R}$
Константа Хафнера – Стори – МакКерли	$D(n)$	$D(n)=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{1-\left[1-\prod _{j=1}^{n}(1-p_{k}^{-j})\right]^{2}\right\}$	1883	$\mathbb {R}$
Константы Стилтьеса	$\gamma _{n}$	${\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$	до 1894 г.	$\mathbb {R}$
Константы Фавара	$K_{r}$	${\frac {4}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{\!r+1}={\frac {4}{\pi }}\left({\frac {(-1)^{0(r+1)}}{1^{r}}}+{\frac {(-1)^{1(r+1)}}{3^{r}}}+{\frac {(-1)^{2(r+1)}}{5^{r}}}+{\frac {(-1)^{3(r+1)}}{7^{r}}}+\cdots \right)$	1902 по 1965 год	$\mathbb {R}$
Обобщенная константа Бруна	$B_{n}$	${\sum \limits _{p}({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+n}})}$где сумма распространяется на все простые числа p такие, что p + n также является простым числом	1919	$\mathbb {R}$
Константы Чамперноуна	$C_{b}$	Определяется путем объединения представлений последовательных целых чисел по базе b. $C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{b^{\left(\sum _{k=1}^{n}\lceil \log _{b}(k+1)\rceil \right)}}}$	1933	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {A}$
Число Лагранжа	$L(n)$	${\sqrt {9-{\frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}$ где $m_{n}$ — это n-е наименьшее число такое, что $m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy\,$ имеет положительные значения (x,y).	до 1957 года	$\mathbb {A}$
Константы Феллера при подбрасывании монеты	$\alpha _{k},\beta _{k}$	$\alpha _{k}$ - наименьший положительный действительный корень из $x^{k+1}=2^{k+1}(x-1),\beta _{k}={\frac {2-\alpha _{k}}{k+1-k\alpha _{k}}}$	1968	$\mathbb {A}$
Номер Стоунхема	$\alpha _{b,c}$	$\sum _{n=c^{k}>1}{\frac {1}{b^{n}n}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{b^{c^{k}}c^{k}}}$ где b,c — взаимно простые целые числа.	1973	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
Константы Бера	$B(n)$	$2+2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$	1974	$\mathbb {A}$
Константы Хватала – Санкова	$\gamma _{k}$	$\lim _{n\to \infty }{\frac {E[\lambda _{n,k}]}{n}}$	1975	$\mathbb {R}$
Гипергармонический номер	$H_{n}^{(r)}$	$\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}$ и $H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}$	1995	$\mathbb {Q}$
число Грегори	$G_{x}$	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)x^{2n+1}}}$ для рационального x больше единицы.	до 1996 года	$\mathbb {R}$
Металлическое средство		${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$	до 1998 года	$\mathbb {A}$

См. также

• Инвариант (математика)
• Словарь математических символов
• Список математических символов по предметам
• Список номеров
• Список физических констант
• Частные значения дзета-функции Римана
• Физическая константа

Библиография

• Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-66572-4 . Проверено 5 июня 2013 г. Английский перевод Катрионы и Дэвида Лишки.
• Йенсен, Йохан Людвиг Уильям Вальдемар (1895), «Записка номер 245. Второй ответ. Замечания по поводу ответов господ Франеля и Клюйвера», L'Intermédiaire des Mathématiciens , II : 346–347
• Кайт, Энни AM ; Петерсен, Вигдис; Вердонк, Бриджит; Вааделанд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008). «Математические константы». Справочник цепных дробей для специальных функций . Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media . ISBN  9781402069499 .
• Борвейн, Джонатан; ван дер Портен, Альф; Шалит, Джеффри; Зудилин, Вадим (2014). Бесконечные дроби: введение в непрерывные дроби . Серия лекций Австралийского математического общества . Том. 23. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521186490 . ISSN   0950-2815 .

Дальнейшее чтение

• Вольфрам, Стивен. «4: Системы, основанные на числах» . Новый вид науки . Раздел 5: Математические константы — Цепные дроби.

Внешние ссылки

• Обратный символьный калькулятор, инвертор Плуффа
• Константы – из Wolfram MathWorld
• Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)
• Страница математических констант Стивена Финча
• Страница чисел, математических констант и алгоритмов Ксавье Гурдона и Паскаля Себаха