постоянная Лебега

В математике ( константы Лебега в зависимости от набора узлов и его размера) дают представление о том, насколько хорош ( в интерполянт функции заданных узлах) по сравнению с лучшим полиномиальным приближением функции (степенью полиномы фиксированы). Константа Лебега для многочленов степени не выше n и для набора из n + 1 узла T обычно обозначается Λ _n ( T ) . Эти константы названы в честь Анри Лебега .

Определение

Исправляем узлы интерполяции $x_{0},...,x_{n}$и интервал $[a,\,b]$ содержащий все узлы интерполяции. Процесс интерполяции отображает функцию $f$ к полиному $p$. Это определяет отображение $X$ из пространства C ([ a , b ]) всех непрерывных функций на [ a , b ] в себя. Отображение X линейно и является проекцией на подпространство Π _n полиномов степени n или меньше.

Постоянная Лебега $\Lambda _{n}(T)$ определяется как норма X . операторная Это определение требует от нас указания нормы на C ([ a , b ]). Единая норма обычно является наиболее удобной.

Свойства

Константа Лебега ограничивает ошибку интерполяции: пусть p ^∗ обозначают лучшее приближение f среди полиномов степени n или меньше. Другими словами, п ^∗ минимизирует || р - ж || среди всех p в Π _n . Затем

$\|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.$

Здесь мы докажем это утверждение с максимальной нормой.

$\|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|$

по неравенству треугольника . Но X — проекция на Πn _, поэтому

п ^∗ - Икс ( ж ) знак равно Икс ( п ^∗ ) - Икс ( ж ) знак равно Икс ( п ^∗ - ж ) .

Это завершает доказательство, так как $\|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|$. Обратите внимание, что это соотношение также является частным случаем леммы Лебега .

Другими словами, интерполяционный полином не более чем в Λ _n ( T ) + 1 раз хуже наилучшего возможного приближения. Это говорит о том, что мы ищем набор узлов интерполяции с небольшой константой Лебега.

Константу Лебега можно выразить через базисные полиномы Лагранжа:

$\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.$

Фактически имеем функцию Лебега

$\lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.$

а константа Лебега (или число Лебега) для сетки — это ее максимальное значение

$\Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)$

непросто Тем не менее, найти явное выражение для Λ _n ( T ) .

Минимальные константы Лебега

В случае равноудаленных узлов константа Лебега растет экспоненциально . Точнее, имеем следующую асимптотическую оценку

$\Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{n\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .$

С другой стороны, константа Лебега при использовании узлов Чебышева растет только логарифмически , поскольку имеем

${\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots$

Мы снова приходим к выводу, что узлы Чебышева являются очень хорошим выбором для полиномиальной интерполяции. Однако существует простое (линейное) преобразование узлов Чебышева, которое дает лучшую константу Лебега. Обозначим через _{t i} -й узел i Чебышева. Затем определите

$s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.$

Для таких узлов:

$\Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots$

Однако эти узлы не являются оптимальными (т.е. они не минимизируют константы Лебега), и поиск оптимального набора узлов (уникальность которого при некоторых предположениях уже доказана) до сих пор остается интригующей темой в математике. Однако этот набор узлов оптимален для интерполяции по $C_{M}^{n}[-1,1]$ набор n раз дифференцируемых функций, чьи n -ные производные ограничены в абсолютных значениях константой M, как показал Н. С. Хоанг. Используя компьютер , можно аппроксимировать значения минимальных констант Лебега, здесь для канонического интервала [−1, 1] :

н	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λ п ( Т )	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

Существует несчетное бесконечное множество наборов узлов в [−1,1], которые при фиксированном n > 1 минимизируют константу Лебега. Однако если предположить, что мы всегда принимаем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции (что называется канонической конфигурацией узлов), то такой набор уникален и нуль-симметричен. Чтобы проиллюстрировать это свойство, мы увидим, что происходит, когда n = 2 (т.е. мы рассматриваем 3 узла интерполяции, и в этом случае свойство не является тривиальным). Можно проверить, что каждый набор (нуль-симметричных) узлов типа (− a , 0, a ) оптимален, когда √ 8/3 мы рассматриваем ( ⩽ a ⩽ 1 только узлы из [−1, 1]). Если мы заставим набор узлов иметь тип (−1, b , 1) , то b должно равняться 0 (посмотрите на функцию Лебега, максимум которой — константа Лебега). Все произвольные (т.е. нуль-симметричные или нуль-асимметричные) оптимальные наборы узлов в [−1,1] при n = 2 были определены Ф. Шурером и альтернативным способом Х.-Й. Рак и Р. Вайда (2014).

Если предположить, что мы принимаем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции, то, как показал Х.-Ж. Рэка (1984 и 2013) для случая n = 3 известны явные значения оптимальных (единственных и нуль-симметричных) 4 узлов интерполяции и явное значение минимальной константы Лебега. Все произвольные оптимальные наборы из 4 узлов интерполяции в [1,1] при n = 3 были явно определены двумя разными, но эквивалентными способами Х.-Ж. Рак и Р. Вайда (2015).

Точки Падуи предоставляют еще один набор узлов с медленным ростом (хотя и не таким медленным, как узлы Чебышева) и с дополнительным свойством быть несостоятельным набором точек .

Чувствительность значений полинома

Константы Лебега возникают и в другой задаче. Пусть p ( x ) — многочлен степени n, выраженный в лагранжевой форме , связанный с точками вектора t (т.е. вектор u его коэффициентов — это вектор, содержащий значения $p(t_{i})$). Позволять ${\hat {p}}(x)$ быть многочленом, полученным путем небольшого изменения коэффициентов u исходного многочлена p ( x ) на ${\hat {u}}$. Рассмотрим неравенство:

${\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}$

Это означает, что (относительная) ошибка в значениях ${\hat {p}}(x)$ не будет превышать соответствующую константу Лебега, умноженную на относительную ошибку коэффициентов. В этом смысле константу Лебега можно рассматривать как относительное число обусловленности оператора, отображающего каждый вектор коэффициентов u в множество значений многочлена с коэффициентами u в форме Лагранжа. Фактически мы можем определить такой оператор для каждого полиномиального базиса, но его число обусловленности больше, чем оптимальная константа Лебега для большинства удобных базисов.

Ссылки

• Брутман, Л. (1997), «Функции Лебега для полиномиальной интерполяции — обзор», Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN   1021-2655
• Смит, Саймон Дж. (2006), «Константы Лебега в полиномиальной интерполяции» (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN   1787-5021
• Ибрагимоглу, Байрам Али (2016), «Функции Лебега и константы Лебега в полиномиальной интерполяции», Журнал неравенств и приложений , 2016 : 2016:93, doi : 10.1186/s13660-016-1030-3 , ISSN   1029-242X
• Рак, Х.-Дж. (1984), «Пример оптимальных узлов для интерполяции» , Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 15 (3): 355–357, doi : 10.1080/0020739840150312 , ISSN   1464-5211
• Рак, Х.-Дж. (2013), «Пересмотренный пример оптимальных узлов для интерполяции», Достижения в области прикладной математики и теории приближения , Springer Proceedings in Mathematics and Статистика, 41 : 117–120, doi : 10.1007/978-1-4614-6393-1_7 , ISBN  978-1-4614-6392-4 , ISSN   2194-1009
• Рак, Х.-Дж.; Вайда, Р. (2014), «Об оптимальной квадратичной интерполяции Лагранжа: экстремальные системы узлов с минимальной константой Лебега посредством символьных вычислений» , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, doi : 10.55630/sjc.2014.8.71-96 , ISSN   1312-6555 , S2CID   55568122
• Рак, Х.-Дж.; Вайда, Р. (2015), «Об оптимальной кубической интерполяции Лагранжа: экстремальные системы узлов с минимальной константой Лебега» (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN   0252-1938
• Шурер, Ф. (1974), «Замечание об экстремальных множествах в теории полиномиальной интерполяции», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN   0081-6906.
• Хоанг, Н.С. (2013), О распределении узлов для интерполяции и спектральных методов. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H

• Ибрагимоглу, Байрам Али (2016), «Функции Лебега и константы Лебега в полиномиальной интерполяции», J. Inequalities and Applications , 2016 (93), doi : 10.1186/s13660-016-1030-3 , S2CID   256244753

• Константы Лебега на MathWorld .